Условные распределения и условные математические ожидания

105. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин X и Y?

Мы можем найти зависимость СВ через условные законы распределения, т.е. закона распределения одной СВ, при условии, что др. СВ приняла определенное значение.

Если СВ X и Y дискретные, то их условные законы распр-я могут быть определены, используя теорию умножения вероятностей P(X= | Y= )= , для всех , таких что > 0 определяет усл. распределение ДСВ x, при условии .

P(Y= | X= )= , для всех , таких что > 0 опред. условие распр-е ДСВ y, при условии .

106. Сформулируйте определение условной ф-ии распр СВ Х при усл Y=y. Как определяется условная плотность f(y|x) распределения? Чему равна f(y|x), если СВ X и Y независимы?

Набор вероятностей f_x|y(x_k|y_k)=P(X=x_k|Y=y_l)={P(X=x_k, Y=y_l)}/P(Y=y_l) для всех y_l, таких, что P(Y=y_l)> 0 определяет условное распределение дискретной СВ Х при условии Y=y_l. Аналогично для определения условного распр Y при условии X=x_k. Если X и Y независимы, то f_X|Y(x_k|y_y)=f_X(x_k); f_Y|X(y_l|x_k)=f_Y(y_l).

107. Как определяется условное математическое ожидание непрерывной случайной величины Y при условии X = x и математическое ожидание случайной величины X при условии Y = y? Докажите, что E(E(X |Y))= E(X ) и E(E(Y | X ))= E(Y).

Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение x, называется величина

.

Аналогично определяется условное математическое ожидание X при условии, что Y = y

.

Заметим, что, вообще говоря, условное математическое ожидание, определенное формулой (7.41), не является числом, а выражается в виде некоторой функции, зависящей от x. Более того, каждую из функций (7.41), (7.42) можно рассматривать соответственно как функцию от случайной величины X и Y. Поэтому можно найти их математическое ожидание

Сформулируем полученное соотношение в виде теоремы.

Теорема Выполняются следующие соотношения

Если не прибегать к излишней строгости, соотношения (7.43) и (7.44) можно выразить словами: «Математическое ожидание от условного математического ожидания дает математическое ожидание исходной величины».

Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева

108. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова: если x³ 0, a> 0, то P(X³ a) £ E(X)/a

Н-во Чебышева: пусть X – СВ, у кот есть E(X)=E и D(X)=a, тогда " e> 0 справедливо н-во

P(|X-E|³ e) £ D(X)/e²

Док-во: P(X³ e) £ E/e - н-во Маркова. |X-E|³ e; (X-E)²/e²³ 1;

P(|X-E|³ e) = P((X-E)²/e²³ 1) £ E((X-E)²/e²) = 1/e² E((X-E)²) = D/e²; P(|X-E|³ e)£ D(X)/e².

109. Используя н-во Чебышева, сформулируйте и док-те «правило трех сигм» для произвольной СВ X.

Н-во Чебышева: пусть X – СВ, у кот есть E(X)=E и D(X)=a, тогда " e> 0 справедливо н-во

P(|X-E|³ e) £ D(X)/e². Противоположное событие: 1 - P(|X-E|³ e) ³ 1 - D(X)/e²; P(|X-E|< e) ³ 1 - D(X)/e².

Правило 3s: Пусть e=3s: P(|X-E|< 3s) ³ 1-s²/9s² = 8/9.

Закон больших чисел

110. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом.

Теорема Чебышева. Пусть имеется бесконечная последовательность X₁, X₂, … независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием E и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

Тогда, каково бы ни было положительное число, вероятность события

стремится к единице при

Доказательство. Положим, .

В силу свойств математического ожидания имеем: .

Далее, так как величины независимы, то .

Сопоставив полученное неравенство с неравенством Чебышева:

,

будем иметь:

Это показывает, что с ростом n вероятность события стремится к 1.

Смысл теоремы Чебышева можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую физическую величину E. В силу неизбежных ошибок результат измерения будет случай-ной величиной. Обозначим эту величину X; ее математическое ожидание будет совпадать с измеряе-мой величиной E, а дисперсия равна некоторой величине D (характеризующей точность измеритель-ного прибора). Произведем n независимых измерений и обозначим:

X₁ – результат первого измерения;

X₂ – результат второго измерения

и т.д. Совокупность величин X₁, X₂, …, X_n представляет собой систему n независимых случайных ве-личин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величина X. Среднее ариф-метическое этих величин тоже является, конечно, случайной величиной. Однако с увеличением n эта величина почти перестает быть случайной, она все более приближается к постоянной E. Точная количественная формулировка этой близости состоит в том, что событие становится как угодно достоверным при достаточно большом n.

Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения бо-лее точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Близость к E(X) среднего арифметического опытных значений величины X уже подчеркивалась нами при самом введении понятия математического ожидания. Однако соответствующее рассуждение относилось только к дискретным случайным величинам; кроме этого, само высказывание о близости мотивировалось соображениями эмпирического характера. В противоположность этому теорема Че-бышева дает точную характеристику близости среднего арифметического к E(X), и притом для любой случайной величины.

111. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли (закон больших чисел)

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если - сколь угодно малое поло­жительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство . Доказательство. Обозначим через Х₁ дискретную случайную величину—число появлений события в первом испытании, через Х₂—во втором, ..., Х_n—в n-м испы­тании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1—р=q. Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены. Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин X₁, Х₂, ..., Х_n следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины X_i (i= 1, 2, ..., n) равна произведению pq, так как p+q=1, то произве­дение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин X_i (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события, получим Остается показать, что дробь (X₁+X₂+…X_n)/n равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин X₁, X₂, …X_n при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма X₁+X₂+…+X_n равна числу E появления события в n испытаниях, а значит, Учитывая, это равенство, окончательно получим

. Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к p.

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: