Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:

где при .

Замечание

 

Геометрический смысл дифференциала

На рис. 50 изображен график некото­рой дифференцируемой функции f (х) в окрестности точки х0. Выражения ∆ x, f (х0), f(х0+∆ х) и ∆ f=f(х0+∆ х)-f(х0) геометрически означают соответственно длины

Инвариантность формы записи

Инвариантность формы записи дифференциалов первого порядка

Пример

Инвариантность формы записи дифференциалов второго порядка

Однако, уже для второго порядка, это не верно:

Упс! Инвариантности нет.

Формула Лейбница

.

где - биномиальные коэффициенты:

Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам.

11.Вопрос.Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Теорема

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

1. .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема Коши

Таблица дифференциалов

12.Вопрос.Применение дифференциалов в приближённых вычислениях значений функций. Дифференциалы высших порядков.Примеры.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях формулы:

Дифференциалы высших порядков

Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Первый дифференциал функции

где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению

. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:

 

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле

 

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда

где в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции берем как дифференциал от произведения

Пример

Задание. Найти дифференциал второго порядка функции , где и - независимая переменная.

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

Из того, что и , получаем:

 

Решение.	Дифференциал пятого порядка вычисляется

13 Вопрос. Правило Лопиталя, применение его к вычислению пределов. Примеры.

Правило Лопиталя

. Именно правила Лопиталя расправляются с пределами, в которых имеет место неопределённость или .

Первое правило Лопиталя

, При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

!!!

И, в-третьих, «икс» может стремиться куда угодно, в том числе, к бесконечности – лишь бы была неопределённость .

Вернёмся к Примеру 5 первой статьи о пределах, в котором был получен следующий результат:

К неопределённости 0: 0 применим первое правило Лопиталя:

Применим правило Лопиталя:

Второе правило Лопиталя

, При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание : предел должен существовать

Важно, чтобы была неопределённость .

Проверим Пример №3 первого урока: . Используем второе правило Лопиталя:

Пример 1

Вычислить предел

Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя:

Теорема

(Правило Лопиталя).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание

Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при .

Пример

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

Замечание

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание

Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание

правило Лопиталя работает только с неопределенностями и ,

Вопрос.Раскрытие неопределённостей различных видов.Примеры.

Определение

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Основные виды неопределенностей: , , , , , ,

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Основные пределы

1. Первый замечательный предел:

 

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При : ,

Ответ.

Задание. Найти предел

Решение.

Ответ.

4. Предел целой рациональной функции: если , то

 

Вопрос.Условия монотонности дифференцируемой функции. Примеры.

Определение

Функция называется строго возрастающей на промежутке

Пример

Функция является возрастающей на промежутке , так как:

для

Определение

Функция называется строго убывающей на промежутке,

Пример

Функция является строго убывающей на промежутке , так как:

для

Функция строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Определение

Функция называется неубывающей на промежутке .

Функция называется невозрастающей на промежутке, .

Теорема

(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции на некотором промежутке , то функция возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция убывает на этом промежутке.

Замечание

Если функция возрастает на промежутке, то или не существует.

Пример

Задание. Исследовать функцию на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

Для любого действительного : , функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция возрастает на всей действительной оси.

Вопрос. Экстремумы функций (необходимые и достаточные условия существования) экстремума. Примеры

Понятие экстремума функции

Определение

точка локального максимума .

точка локального минимума .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

, строгое неравенство .

строгого локального минимума строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

-называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2. или не существует;

3. производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение :

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку производная сменила свой знак с " -" на " +", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем .

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале производная , то на этом интервале функция является убывающей; на интервале производная , значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ.

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке ;

3. в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

Вопрос. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции. Примеры.

. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева.

Функция непрерывна в точке справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она непрерывна в точке слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению:

Вторая теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .

Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .

В нашем случае:

.

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Вопрос.Выпуклость и вогнутость прямой. Примеры.

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;

2. вторая производная или не существует в точке ;

3. при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение :

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке вторая производная , то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке вторая производная - функция вогнута. Так как при переходе через точку вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка - точка перегиба графика функции.

На промежутке функция выпукла, на промежутке функция вогнута.

19 Вопрос. Точки перегиба( необходимые и достаточные условия существования перегиба). Примеры.

Точки перегиба

Определение точки перегиба Рассмотрим функцию y=f(x), которая является непрерывной в точке x0. Функция f(x) может иметь в этой точке конечную или бесконечную производную f′ (x0). Если при переходе через x0 функция меняет направление выпуклости, т.е. существует число δ > 0, такое, что на одном из интервалов (x0− δ, x0) или (x0, x0+δ ) функция является выпуклой вверх, а на другом − выпуклой вниз, то x0 называется точкой перегиба функции y=f(x). Геометрический смысл точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую, т.е. кривая и касательная взаимно пересекаются (рисунок 1). Другое интересное свойство точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) в окрестности точки перегиба x0 расположен внутри одной пары вертикальных углов, образованных касательной и нормалью (рисунок 2).   Рис.1   Рис.2

Точки перегиба

Пусть f′ ′ (x0)=0, f′ ′ ′ (x0)≠ 0. Тогда точка x0 является точкой

перегиба функции f(x).

Доказательство.
Поскольку f′ ′ ′ (x0)≠ 0, то вторая производная

в точке x0

либо строго возрастает

(если f′ ′ ′ (x0)> 0), либо строго убывает (если f′ ′ ′ (x0)< 0).

Так как f′ ′ (x0)=0, то вторая производная при

некотором δ > 0 имеет разные знаки в левой

и правой δ -окрестности точки x0. Отсюда,

на основании предыдущей теоремы,

следует что x0 − точка перегиба функции f(x).