Выпуклость функции, точки перегиба

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;

2. вторая производная или не существует в точке ;

3. при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение :

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке вторая производная , то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке вторая производная - функция вогнута. Так как при переходе через точку вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка - точка перегиба графика функции.

На промежутке функция выпукла, на промежутке функция вогнута.

19 Вопрос. Точки перегиба( необходимые и достаточные условия существования перегиба). Примеры.

Точки перегиба

Определение точки перегиба Рассмотрим функцию y=f(x), которая является непрерывной в точке x0. Функция f(x) может иметь в этой точке конечную или бесконечную производную f′ (x0). Если при переходе через x0 функция меняет направление выпуклости, т.е. существует число δ > 0, такое, что на одном из интервалов (x0− δ, x0) или (x0, x0+δ ) функция является выпуклой вверх, а на другом − выпуклой вниз, то x0 называется точкой перегиба функции y=f(x). Геометрический смысл точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую, т.е. кривая и касательная взаимно пересекаются (рисунок 1). Другое интересное свойство точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) в окрестности точки перегиба x0 расположен внутри одной пары вертикальных углов, образованных касательной и нормалью (рисунок 2).   Рис.1   Рис.2

Необходимое условие существования точки перегиба

Если x0 − точка перегиба функции f(x) и данная функция имеет вторую

производную в некоторой окрестности точки x0, причем в точке x0

она непрерывна, тоf′ ′ (x0)=0.Доказательство.
Предположим, что в точке перегиба x0 вторая производная не равна

нулю: f′ ′ (x0)≠ 0. Поскольку она непрерывна при x0, то

существует δ -окрестность точки x0, в которой вторая производная

сохраняет свой знак, т.е.f′ ′ (x0)< 0илиf′ ′ (x0)< 0∀ x∈ (x0− δ, x0+δ ).

В таком случае функция будет либо строго выпукла вверх

(при f′ ′ (x)< 0), либо

строго выпукла вниз (при f′ ′ (x)> 0). Но тогда точка x0 не является

точкой перегиба. Следовательно, предположение неверно и

вторая производная в точке перегиба должна быть равна нулю.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: