Первое достаточное условие существования точки перегиба

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0,

имеет вторую производную f′ ′ (x0) в некоторой проколотой

δ -окрестности точки x0 и если вторая производная меняет знак

при переходе через точку x0, то x0 является точкой

перегиба функции f(x).

Доказательство.
Пусть, например, вторая производная f′ ′ (x)

при переходе

через точку x0 меняет знак с плюса на минус.

Следовательно

, в левой δ -окрестности (x0− δ, x0) выполняется

неравенство f′ ′ (x)> 0, а в правой δ -окрестности (x0, x0+δ )

справедливо неравенство f′ ′ (x)< 0.

В таком случае, согласно достаточным условиям выпуклости,

функция f(x) выпукла вниз в левой δ -окрестности точки x0 и

выпукла вверх в правой δ -окрестности.

Следовательно, в точке x0 функция меняет направление

выпуклости, т.е. c является, по определению,

точкой перегиба.

Второе достаточное условие существования

Точки перегиба

Пусть f′ ′ (x0)=0, f′ ′ ′ (x0)≠ 0. Тогда точка x0 является точкой

перегиба функции f(x).

Доказательство.
Поскольку f′ ′ ′ (x0)≠ 0, то вторая производная

в точке x0

либо строго возрастает

(если f′ ′ ′ (x0)> 0), либо строго убывает (если f′ ′ ′ (x0)< 0).

Так как f′ ′ (x0)=0, то вторая производная при

некотором δ > 0 имеет разные знаки в левой

и правой δ -окрестности точки x0. Отсюда,

на основании предыдущей теоремы,

следует что x0 − точка перегиба функции f(x).

Вопрос. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Основные свойства неопределённого интеграла. Примеры.

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной

Первообразная, основные понятия и определения

Определение

Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Последнее равенство можно записать через дифференциалы:

или

Функция является первообразной для функции , так как

Первообразная имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.

Теорема

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.

для функции первообразной является функция , а, следовательно, и все функции вида также будут первообразными, так как выполняется равенство :

Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть

Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции , может быть представлена в виде .

Неопределенный интеграл

Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых , где каждому конкретному числовому значению постоянной соответствует определенная кривая из указанного семейства.