Связь монотонности функции с ее производной

Теорема

(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции на некотором промежутке , то функция возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция убывает на этом промежутке.

Замечание

Если функция возрастает на промежутке, то или не существует.

Пример

Задание. Исследовать функцию на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

Для любого действительного : , функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция возрастает на всей действительной оси.

Вопрос. Экстремумы функций (необходимые и достаточные условия существования) экстремума. Примеры

Понятие экстремума функции

Определение

точка локального максимума .

точка локального минимума .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

, строгое неравенство .

строгого локального минимума строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

-называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2. или не существует;

3. производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение :

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку производная сменила свой знак с " -" на " +", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем .

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале производная , то на этом интервале функция является убывающей; на интервале производная , значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ.

Второе достаточное условие экстремума

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке ;

3. в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

Вопрос. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции. Примеры.

. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева.

Функция непрерывна в точке справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она непрерывна в точке слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению:

Вторая теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .

Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .

В нашем случае:

.

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Вопрос.Выпуклость и вогнутость прямой. Примеры.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: