Множества. Операции над множествами.

Множества. Операции над множествами.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, а элементы множества маленькими латинскими буквами a, b, c. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Операции над множествами:

1. Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1, 2, 3, 4}, B={3, 1, 4, 2} то А=В.

2. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1, 2, 4}, B={3, 4, 5, 6}, то А ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1, 2, 4}, B={3, 4, 5, 2}, то А ∩ В = {2, 4}

4. Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5}, то АВ = {1, 2}

5. Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть АΔ В=(АВ)∪ (ВА).
Например, если А={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}, то А Δ В = {1, 2} ∪ {5, 6} = {1, 2, 5, 6}

Свойства перестановочности

A∪ B=B∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A∪ B)∪ C=A∪ (B∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Действительные числа и числовая ось.

Действительные (вещественные) числа представляют собой совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Множество вещественных чисел обозначается . Иначе говоря, действительные числа - это бесконечные (периодические и непериодические) десятичные дроби.

Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.

Числовая ось – прямая, на которой изображаются действительные числа. Для превращения обычной прямой в числовую ось необходимы:

некоторая точка O — начало отсчёта;
положительное направление, указанное стрелкой;
масштаб для измерения длин.

Основные характеристики функции (монотонность, четность-нечетность, периодичность).

1.Четность и нечетность. y = f (x) четная, если f (-x)=f (x) и нечетная, если f (-x)=- f (x).

Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
3.Ограниченность. Функция называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что | f (x)| ≤ М для любого х є Х.
4.Периодичность. Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T - это период функции.

Основные элементарные функции и их графики. Степенные функции.

Степенная функция y = x ^α, α ∈ R.

Основные элементарные функции и их графики. Показательные функции.

Показательная функция y = α ^x, a> 0

Основные элементарные функции и их графики. Логарифмические функции.

Логарифмическая функция y = log_ax, a> 0

Основные элементарные функции и их графики. Тригонометрические функции

Тригонометрические функции y = sinx, y = cosx,

y = tgx, y = ctgx

Основные элементарные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

y = arcsinx, D (f) = [-1; 1], E (f) = ;

y = arccos x, D (f ) = [- 1; l], E (f) = ;

y = arctg x, D (f) = R, E (f) = ;

y = arcctg x, D (f) = R, E (f) =

Предел функции. Определения. Основные теоремы о пределах.

Число A называется пределом функции f (x) в точке x₀(при x, стремящемся к x₀), если эта функция определена в некоторой окрестности точки x₀ за исключением, быть может, самой точки x₀, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – x₀| < δ, x ≠ x₀, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Теорема 1.Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2.Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

= f(x) φ (x).

Теорема 3.Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

= f(x) φ (x).

Теорема 4.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x) => .

Теорема ( о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то верно и неравенство: .

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных величин.

Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м.функциям одного порядка при , если

Обозначают: при .

Таблица эквивалентных б.м. функций при

17) Непрерывность функций в точке. Основные определения. Непрерывность функции на множестве
Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если для всех ε > 0 существует положительное число δ, такое что для всех x из δ –окрестности точки x₀(т.е. |х–x₀|< δ ) выполняется неравенство |f(x) – f(x₀) < ε |.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Функция , непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом множестве.

Теорема 1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве функций есть функция, непрерывная на этом множестве.

Доказательство (следует из основных теорем о пределах).

Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в точке х₀, тогда

, ,

Следовательно, функция y=f(x)+g(x) непрерывна в точке х₀.

Доказательство для произведения функций проводится аналогично.

Теорема 2. Частное от деления двух непрерывных на множестве функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Таблица дифференциалов.

Определение

Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Правила Лопиталя.

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

Асимптоты графика функции.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Таблица основных неопределенных интегралов.

Простейшие дроби 4 типов.

Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I. ;

II. , где m - целое число, большее единицы;

III. , где , т.е квадратный трехчлен не имеет действительных корней

IV. , где n - целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен не имеет действительных корней

Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a - действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, IV типов.

Приложение определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу отрезком оси , справа и слева прямыми и , находится по формуле

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , то есть , то площадь может быть найдена по формуле

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и ( для любого ), прямыми и , можно найти по формуле

Если криволинейная трапеция ограничена справа непрерывной кривой , слева отрезком оси , снизу и сверху прямыми и , то ее площадь находится по формуле

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

то ее площадь находится по формуле

66 ) Приложение определенного интеграла..Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

Приложение определенного интеграла. Вычисление объема тела.

В общем случае, простого определенного интеграла не достаточно, чтобы вычислить объем тела, и для этого используются кратные интегралы. Лишь в некоторых частных случаях для вычисления объема используется простой интеграл.

Самый простой случай – вычисление объема при известной площади сечения. Пусть дано какое-то объемное тело. Если площадь сечения задается функцией S ( x ), тогда объем этого тела, заключенный между плоскостями x = a и x = b вычисляется с помощью интеграла:

Частным случаем вычисления объема при известной площади сечения является вычисление объема тела вращения. Если некоторая кривая f ( x ) вращается вокруг оси x, тогда площадь сечения плоскостью x = u данного тела вращения равна площади круга с радиусом f ( u ), т.е. равна p f ²( u ). В результате объем тела вращения, получаемого при вращении f ( x ) вокруг оси x, и ограниченного плоскостями x = a и x = b равен:

Функции нескольких (двух) переменных. Основные понятия

Определение 1. Закон (правило) по которому каждой паре независимых переменных ставится в соответствие определенное значение называется функцией двух переменных.

Например, площадь прямоугольника представляет собой функцию двух переменных.

Замечание. Если паре значений соответствует одно значение , то функция называется однозначной. В остальных случаях – многозначной.

Определение 2. Пусть имеется n различных переменных величин, и каждому набору их значений ( соответствует определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Например, объем параллелепипеда – функция трех переменных.

Переменные называются независимыми переменными, или аргументами, z – зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции.

Определение 3. Совокупность пар значений x и y, при которых функция имеет смысл, называется областью определения функции.

Определение 4. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства аппликата z которых связана с абсциссой x и ординатой y функциональным соотношением .

Экстремум функции двух переменных. Основные понятия

Функция двух переменных имеет максимум в точке , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.

Аналогично, функция имеет минимум в точке , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Необходимые условия экстремума: если функция имеет в точке экстремум, то каждая частная производная первого порядка от в этой точке или равна нулю , , или не существует.

Точки, в которых частные производные и функции равны нулю или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то это может случиться только в критической точке.

Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда.

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .
Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через , т.е.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Признак Лейбница.

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

(монотонное убывание {a_n})
.

Тогда этот ряд сходится.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Рядом Тейлора называется степенной ряд вида (предполагается, что функция является бесконечно дифференцируемой).

Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при , то есть ряд .

86)Разложение в ряд Маклорена функций ln(1+x), cos x.

87) Разложение в ряд Маклорена функций e^x, sin x.

Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0, которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.