Основные свойства определенного интеграла.

1. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

4. Если промежуток интегрирования [a, b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a, b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

6. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

7. Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], тогда справедливо неравенство

8. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а; b], (а < b), то

9. .

10. Если на отрезке , то .

Оценка опр. интеграла. Теорема о среднем.

Теорема 1 (об оценке определенного интеграла)

Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b], то

. (5)

Теорема 2 (о среднем значении)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка С такая, что

ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Формула Ньютона-Лейбница.

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла (x)dx от непрерывной функции является формула Ньютона Лейбница:

(x)dx = F(x)|^b_a = F(b)-F(a).Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найде­на первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x).

Например, xdx = — cosx| = —(cosπ — cosO) = 2.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной) в опред.интеграле.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β ], а=φ (α ), в=φ (β ) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ (t), где t [α, β ].

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным).

Интегрирование по частям в опред.интеграле.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a, b ], то справедлива формула интегрирования по частям:

63) Несобственные интегралы. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода).

При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и являются конечными;

б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда

(12)

называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).

Если существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен , то несобственный интеграл называется расходящимся.

64)Несобственный интеграл. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 2рода)

При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и являются конечными;

б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на промежутке называется предел , т.е.

. (15)

Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Приложение определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу отрезком оси , справа и слева прямыми и , находится по формуле

.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , то есть , то площадь может быть найдена по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и ( для любого ), прямыми и , можно найти по формуле

.

Если криволинейная трапеция ограничена справа непрерывной кривой , слева отрезком оси , снизу и сверху прямыми и , то ее площадь находится по формуле

.

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

,

то ее площадь находится по формуле

.

 

66 ) Приложение определенного интеграла..Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

Приложение определенного интеграла. Вычисление объема тела.

В общем случае, простого определенного интеграла не достаточно, чтобы вычислить объем тела, и для этого используются кратные интегралы. Лишь в некоторых частных случаях для вычисления объема используется простой интеграл.

Самый простой случай – вычисление объема при известной площади сечения. Пусть дано какое-то объемное тело. Если площадь сечения задается функцией S ( x ), тогда объем этого тела, заключенный между плоскостями x = a и x = b вычисляется с помощью интеграла:

Частным случаем вычисления объема при известной площади сечения является вычисление объема тела вращения. Если некоторая кривая f ( x ) вращается вокруг оси x, тогда площадь сечения плоскостью x = u данного тела вращения равна площади круга с радиусом f ( u ), т.е. равна p f ²( u ). В результате объем тела вращения, получаемого при вращении f ( x ) вокруг оси x, и ограниченного плоскостями x = a и x = b равен:

Функции нескольких (двух) переменных. Основные понятия

Определение 1. Закон (правило) по которому каждой паре независимых переменных ставится в соответствие определенное значение называется функцией двух переменных.

Например, площадь прямоугольника представляет собой функцию двух переменных.

Замечание. Если паре значений соответствует одно значение , то функция называется однозначной. В остальных случаях – многозначной.

Определение 2. Пусть имеется n различных переменных величин, и каждому набору их значений ( соответствует определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Например, объем параллелепипеда – функция трех переменных.

Переменные называются независимыми переменными, или аргументами, z – зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции.

Определение 3. Совокупность пар значений x и y, при которых функция имеет смысл, называется областью определения функции.

Определение 4. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства аппликата z которых связана с абсциссой x и ординатой y функциональным соотношением .

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: