Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Теорема. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при , т.е. .

Действительно, имеем

,

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же , то ряд расходится. Обратное утверждение неверно.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим.

Ряды с положительными членами.

О п р е д е л е н и е. Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны.

Рассмотрим числовой ряд ,

где для такого ряда . Значит, последовательность частичных сумм возрастает.
Из теоремы о пределе монотонной последовательности можно сформулировать условие сходимости ряда с положительными членами.
Ряд с положительными членами всегда имеет сумму и эта сумма конечна, а ряд будет сходящимся, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечна, а ряд расходящимся в противном случае.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 1 (признак сравнения). Если члены двух числовых рядов и удовлетворяют неравенству для любых n, то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда. Из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом .

, .

По признаку сравнения данный ряд расходится.

Теорема 2 (признак Даламбера). Если для числового ряда существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

, то:

а) при ряд сходится;

б) при ряд расходится;

в) при вопрос о сходимости открыт.

Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Знакопеременный ряд

а₁+а₂+а₃+…+а_п+… (1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(2)

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный ряд (1) называется условно сходящимся.

Признак Лейбница.

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: (монотонное убывание {an}) . Тогда этот ряд сходится.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида .

 

Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд принимает вид

.

Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда совпадает с одним из следующих интервалов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда совпадает с одним из следующих интервалов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Рядом Тейлора называется степенной ряд вида (предполагается, что функция является бесконечно дифференцируемой).

Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при , то есть ряд .

86)Разложение в ряд Маклорена функций ln(1+x), cos x.

87) Разложение в ряд Маклорена функций e^x, sin x.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: