Свойства операций над матрицами.

Виды матриц.

Две матрицы называются равными, если их соответствующие элементы равны.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (n=m), то матрица называетсяквадратной.

Матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.

Если в квадратной матрице все элементы стоящие ниже (выше) главной диагонали равны 0, то она называется верхний(нижний) треугольник.

Если в матрице А строки записать столбцами с теми же номерами, то полученная матрица будет называться транспонированнойк матрице А.

Если матрица А равна транспонированной, то она называется симметричной.

Действия над матрицами:

1) Умножение матрицы на число. В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число. Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число. Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2) Сложение и вычитание матриц. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой (разностью) двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц. Очевидно, результат сложения не изменится, если слагаемые матрицы поменять местами. Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу.

3) Умножение матрицы на матрицу. Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя. Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата.

Свойства операций над матрицами.

1) В общем случае. Еслито матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

2) Ассоциативность;

3) Дисрибутивность;

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется.

Определитель квадратной матрицы (детерминант) - численная характеристика матрицы.

Обозначение определителей: |A|, det A, ∆ A.

Определителем " n" порядка называют алгебраическую сумму всех возможных произведений его элементов, удовлетворяющих следующим требованиям:

1) Каждое такое произведение содержит ровно " n" элементов (т.е. определитель 2 порядка - 2 элемента).

2) В каждом произведении присутствует в качестве сомножителя представитель каждой строки и каждого столбца.

3) Любые два сомножителя в каждом произведении не могут принадлежать одной строке или столбцу.

Знак произведения определяется порядком чередования номеров столбцов, если в произведении элементы расставлены в порядке возрастания номеров строк.

Рассмотрим несколько примеров нахождения детерминанта матрицы:

У матрицы первого порядка (т.е. имеется всего 1 элемент), детерминант равен этому элементу:

1. |a₁₁| = a₁₁

2. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

3. Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (3× 3):

4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:

Правило треугольника.

Правило треугольника - это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:

Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.

Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример:

А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:

Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:

Свойства определителей:

1. Если элементы строки или столбца равны нулю, то и определитель равен нулю.

2. Определитель изменит знак, если поменять местами какие-либо 2 строки или столбца. Рассмотрим это на небольшом примере:

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:

5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):

6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.

7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:

Прямая в пространстве

Напомним, что в аналитической геометрии любая пространственная линия рассматривается как пересечение двух поверхностей.

Так как каждая прямая всегда может быть помещена в некоторую плоскость и при пересечении двух плоскостей образуется прямая, то в аналитической геометрии прямую в пространстве принято задавать как пересечение двух плоскостей.

Итак, пусть и – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую . Тогда координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

(1)

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом.

Таблица неопределенных интегралов

1. , . 2. .

3. , .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. .

11. .

12. . 13. .

14. .

15. .

25. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к более простому. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Пусть функция непрерывно дифференцируема на промежутке и имеет обратную функцию . Тогда

При замене переменной в интеграле нужно

а) заменить переменную на функцию , заменить на ,

б) вычислить получившийся интеграл,

в) результат выразить через первоначальную переменную .

Пусть и – дифференцируемые функции. Найдем дифференциал их произведения: . Проинтегрируем это равенство и воспользуемся свойством . Тогда получим формулу или

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула применяется, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух множителей и так, чтобы отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем вычисление интеграла .

Умение разбивать разумным образом подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Укажем, когда и как это делается в некоторых случаях:

1) интегралы ,

где – многочлен, вычисляются многократным интегрированием по частям, причем следует взять , а оставшееся выражение взять за ;

при каждом применении формулы степень многочлена будет понижаться на единицу;

2) интегралы вида также вычисляются методом интегрирования по частям, но за следует взять соответственно функции .

26.

Интегрирование тригонометрических функций.

Случай 1. , где хотя бы одно из чисел положительное нечетное число. В этом случае следует отделить от нечетной степени (или ) одну степень и подвести ее под знак дифференциала.

Пример 1. Найти .

Подынтегральная функция содержит в нечетной положительной степени. Поэтому отделим в числителе и воспользуемся тем, что , а . Тогда