Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.

(12.3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них ).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей.

 

12.

Если к каждому натур числу n поставлено соответствие числу Xn, то говорят, что задана числовая последовательность. Числовая последовательность имеет бесконечное число членов

Число а наз пределом числовой последовательности Xn, если для любого полож сколь угодно малого числа Е(элипса) найдется такой номер N зависящее от Е, что для всех членов последовательности у которого номер n> N будет выполняться неравенство IXn-aI< E

Последовательность, имеющая конечные пределы, наз.сходящей, в противном случае расходящейся

 

геометрический смысл предела в Е-окрестность точки а попадает все члены последовательности с номерами n> M–бесконечное число. За пределами Е-окрестности находится конечное число 1-х членов Х1, Х2…ХN за пределами maе-окрестности Xn+1, Xn+2...? (a-E: a+E)

 

13. Определение предела функции в бесконечности, предел функции в точке, геометрический смысл предела, односторонние пределы

Число а наз.пределом ф-ииY=F(X) при Х → ∞, если для любого даже сколь угодно малого числа Е> 0 найдется такое полож число S> 0 (зависящее от Е, S=S(E)), что для всех Х, таких что IXI> S верно неравенство IF(X)-AI< E

Геометрический смысл предела в∞: число А есть предел ф-ииY=F(X) при Х→ ∞,, если для любого E> 0найдется такое числоS> 0, что для всех Х таких, что IXI> Sсоответствующие ординаты графика ф-ииF(X) Будут заключены в полосе A-E< y< A+E, какой бы узкой она не была

Число А наз.пределом ф-ииF(X) при Х→ Х0 (или в точке Х0), если для любого E> 0 найдется б> 0 такое, что для всех Х для которых 0< IX-XI< б справедливо неравенство F(X)→ A при Х→ Х0

Геометрический смысл предела в точке число А есть предел ф-цииF(X) при Х→ Х0, если для любого Е> 0 найдется такое б-окрестность точки Х0, что для всех Х≠ Х0, из этой окрестности соответствующие ординаты графика ф-ииF(X) будут заключены в полосе A-E< Y< A+E

Односторонние пределы Если при стремлении Х и Х0 переменная Х принимает лишь значения меньше Х0 или наоборот, лишь значения больше Х0 и при этом ф-я F(X) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах ф-цииF(X) соответственно слева и справа

 

14.

Теоремы:

1.Функция не может иметь больше 1 предела.

2.Предел алгебр.суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций.

Т.е Lim[f(х)+-a(х)]=A+-B х-Хо(или бескон)

3.Предел произведения конечно числа функций равен произведению пределов этих функций.

Lim[f(х)a(х)]=AB х-Хо(или бескон)

4.Предел частного 2х функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен 0)т.е Lim f(х)/a(х)=A/B(B не равно 0) х-Хо(или бескон)

5.О предельном переходе в неравенство

) первым замечательным пределом называется следующий предел

Lim sinx/x =1

Xстремится к 0

Доказательство геометрия-нереально написать

2. Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность

Xn=(1+1/n)^n

X1=(1+1/1)’=2

X2=(1+1/2)’2=2.25

Рисуем координатную прямую

Можно доказать, что последовательность ограничена числом 3

Последовательность – возрастающая и ограниченная сверху

Последовательность имеет предел

е = lim (1+1/n)^n

nстремится к бесконечности

Можно показать, что функция

y= (1+1/x)^x при x стремящемся к бесконечности ( где х в отличие от натурального числа и «пробегает» все значения числовой оси –не только целые) имеет предел, равный числу е

Lim (1+1/x)^x=e

Xстремится к бесконечности

Другой вид второго замечательного предела

y = 1/x; x=1/y, при х стремящемся к бесконечности, y стремящемся к 0

В результате получается еще одна запись числа е

Lim (1+y)^1/y=e

y стремится к

 

15.

 

)Точки разрыва бывают 1 рода: разрыв-скачок и устранимый разрыв.

Разрыв-скачок: если конечное ондостороннрие пределы при х=> х0 не равны друг другу

Устранимый разрыв: онодсторонние пределы равны друг другу но не равны значению функции.

Точки разрыва 2 рода:

Х0 является точкой разрыва 2 рода если хотя бы 1 из односторонних преедлов функции при х= > x0 не существует или равен бесконечности. Точка разрыва 2 рода – бесконечный разрыв

 

)Свойства непрерывной функции:

1) Сумма, произведение и частное конечного числа непрерывных функции, есть функция непрерывная.

2) Если y=f(x) непрерывна в точке Х0 и f(x0) > 0 то существует окрестность точки х0 в которой f(x)

Больше 0

3) Если u=f(x) непрерывна в точке х0 то функция y=f(x) непрерывна в точке u0=& (

 

16.

 

Произво́ дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

 

 

Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой.

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к, двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси .

Пусть – угол наклона секущейк оси, где . Так как – касательная, то при

⇒ ⇒ .

Следовательно,

.

Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде

 

Общее правило дифференцирования. При дифференцировании функции (нахождение ее производной) придерживаются следующие схемы:

• выбрав некоторое значение х, дают ему приращение хи находят значение функции в точкех +  х, равноеf(x +  x);

• определяют приращение функции:  f = f(x +  x);

• составляют отношение  f /  xи, если возможно, упрощают его;

• находят производную функции, то есть предел ( f /  x), если этот предел существует:

 

 

17.

 

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от. Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

адание. Найти вторую производную функции

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ.

 

Правило Лопиталя для бесконечности. Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших. Предположим также, что для всех достаточно больших. Если и существует предел отношения производных при , то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают:

Аналогичный результат имеет место и для -∞ .

Замена t=1/x сводит доказательство к случаю a=0 правила Лопиталя.

Правило Лопиталя для неопределенности ∞ /∞ . Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших. Предположим также, что для всех достаточно больших x. Если и существует предел отношения производных при x→ +∞ , то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают (см (2)).

Аналогичный результат имеет место и для -∞ .

Замена дроби f/g на (1/g)/(1/f) сводит доказательство к предыдущему случаю.

 

 

18.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: