Определителя по элементам строки или столбца

Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения

Определение. Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i-ой стоки и j-го столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителя n-го порядка имеет порядок (n-1). Будем его обозначать через .

Пример 1. Пусть , тогда .

Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется соответствующий минор, умноженный на т.е , где i –номер строки и j -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

Пример 2. Пусть , тогда

Пример 3. Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.

Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.

Определение. Определителем матрицы A n-го порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.

Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.

Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.

Пример 4. Вычислить определитель: .

Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.

Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства 7). Умножим первую строку последовательно на числа (–5), (–3) и (–2) и прибавим её ко 2-ой, 3-ей и 4-ой строкам и получим:

.

Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:

( вынесем из 1-ой строки (–4), из 2-ой — (–2), из 3-ей — (–1) согласно свойству 4)

(так как определитель содержит два пропорциональных столбца).

4.

Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.

Определение. Произведением матрицы Aразмера m n на число , называется матрица B= A размера m n, каждый элемент b_ij которой равен  a_ij.

Пример 1.

Определение. Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица C=A+B того же размера каждый элемент c_ij которой равен a_ij+b_ij.

Пример 2.

Матрицы разного размера складывать нельзя.

Эти операции обладают свойствами:

а) коммутативности: A+B=B+A,

б) ассоциативности: (A+B)+C=A+(B+C)

в) дистрибутивности:  (A+B)= A+ B.

Операцию умножения матриц определим в два этапа.

Определение. Произведением строки A из n элементов на столбец B из n элементов называется число AB, равное сумме произведений соответствующих элементов строки и столбца, т.е.

Строку и столбец разной длины перемножать нельзя.

Пример 3.

Определение. Произведением матрицы A размера m n на матрицу B размера n k называется матрица C размера m k, каждый элемент c_ij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на j–ый столбец матрицы B, т.е.

Пример 4. Пусть , . Найдём матрицы AB и BA.

Мы видим, что AB BA, т.е. умножение матриц свойством коммутативности не обладает.

Единичная матрица E играет роль единицы при умножении на квадратную матрицу, т.е. для любой квадратной матрицы A верно равенство

AE=EA=A.

Произведение матриц соответствующих размеров обладает свойствами:

а) ассоциативности: A (BC)=(AB) C;

б) дистрибутивности: A (B+C)=AB+AC и (B+C) A=BA+CA.

Кроме того для квадратных матриц  AB = A   B, т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A^-1, что выполняется равенство A A^-1=A^-1 A=E.

Определение. Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной .

Пример 5. Матрица – вырождена, – невырождена.

Из соотношения  A   A^-1 = E =1 следует, что у вырожденной матрицы не может быть обратной (0  A^-1  1).

Определение. Присоединённой матрицей для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е.

Пример 6. Пусть , тогда

A₁₁=(–1) ¹⁺¹ 4=4,

A₁₂=(–1)¹⁺² 3= –3,

A₂₁=(–1)²⁺¹ 2= –2,

A₂₂=(–1)²⁺² 1=1,

Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле

(Здесь – присоединённая транспонированная матрица).

Пример 7. Найдём обратную матрицу для матрицы .

Поскольку , то обратная матрица существует. В предыдущем примере мы получили, что , поэтому

и .

Сделаем проверку.

т.е. AA^-1= A^-1A=E.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

Если A и B невырожденные матрицы, то (A^-1)^-1=A, (AB)^-1= B^-1 A^-1,  A^-1 = A ^-1.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица - вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу, транспонированную к.

3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу .

4. Составляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

5.

Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Найдём ранг матрицы .

У матрицы выбираем невырожденный минор 1-го порядка M₁=(a₁₁)=1. Среди окаймляющих его миноров есть один невырожденный . Единственный минор 3-го порядка окаймляющий M₂ – это сама матрица A. Но, поскольку , то A – вырождена и r(A)=2.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования:

1. Перестановка строк или столбцов местами.

2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.

3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число_.

4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.

Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.

Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Сначала получаем нули в первом столбце, для этого:

1) умножаем первую строку на (− 2) и складываем со второй;

2) умножаем первую строку на (− 3) и складываем с третьей;

3) умножаем первую строку на (− 6) и складываем с четвертой строкой;

получаем:

Получаем нули во втором столбце, работая со 2 строкой

получаем нули в третьем столбце, работая с третьей строкой,

Получили трапецеидальный вид. Итак,

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

• если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

• если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

6. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:

(1.1)

Здесь переменные x₁, x₂,..., x_n называются неизвестными системы, числа a_ij, где i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n называются коэффициентами системы, а числа b₁, b₂,..., b_m– свободными членами.

Числа x₁, x₂,..., x_n, обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Пример1. Система совместна, так как имеет решение x₁=1, x₂=2.

Система несовместна.

Имеется более краткая запись С.Л.А.У., она состоит в следующем.

Обозначаем через A матрицу размера m n, составленную из коэффициентов при неизвестных

Она называется матрицей системы. Столбец свободных членов обозначим через , а столбец из неизвестных системы через . Тогда систему (1.1) можно записать в виде матричного уравнения:

или короче AX=B.

Эта запись называется матричной формойзаписи системы.

В случае, если матрица A квадратная, матричная форма записи позволяет решить систему с использованием обратной матрицы A^-1.

Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид).

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 590; Нарушение авторского права страницы