Интегрирование простейших рациональных дробей.

 

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,

где

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

 

a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

 

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

 

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

 

Интеграл вида где n- натуральное число.

 

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

 

 

Пример.

 

 

 

 

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

 

Пример.

 

 

27.

Формула ньютона-лейбница (основная формула интегрального исчисления (! ) )

Если f(x) непрерывна на отрезке [a; b], и F(x) - некоторая первообразная функции f(x), То:

Формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:

 

 

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

 

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

1.

2.

где k - константа

3.

4.

5. если

для всех

то

6.

7.

8. если

в интервале [a, b], то

 

 

28.

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производные Дифференциальное уравнение записывается в виде

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производную (2)

и любого частного решения данного неоднородного уравнения.

.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами с правыми частями специального вида, частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию (метод неопределённых коэффициентов). Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1).

1. Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид

, (3)

где - многочлен n-ой степени. Тогда возможны следующие частные случаи:

a) число не является корнемхарактеристического уравнения

.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

, (4)

где -многочлен степени n, с неизвестными коэффициентами. Чтобы найти коэффициенты многочлена, искомое частное решение (4) подставляют в левую часть уравнения (1) и производят соответствующие упрощения. В полученном тождестве приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно (n+1)), получим систему (n+1) уравнений для определения неизвестных коэффициентов.

б) число является корнем характеристического уравнения кратности r, r=1, 2. (.

В этом случае частное решение следует искать в виде

(5)

 

 

29.

 

Если ДУ− I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ− I с разделёнными переменными.

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:

Если ДУ− I имеет вид: X₁Y₁dy+X₂Y₂dx=0, в котором X₁ и X₂ зависят только от х, а Y₁ и Y₂ зависят только от у, то оно является ДУ− I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ− I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.

 

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит: 1) независимую переменную ; 2) зависимую переменную (функцию); 3) первую производную функции: . В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

 

30.

 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида

Как распознать однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы распознать однородное дифференциальное уравнение, нужно ввести постоянную t и сделать замену y → ty, x → tx. Если, в результате такого преобразования, постоянная t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется:

 

31.

Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения линейного дифференциального уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.

 

 

32.

одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть дано уравнение

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у^'=р(х). Тогда у^''=p^'(x) и получаем ДУ первого порядка: p^'=ƒ (х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y^'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как уравнение (3.6) можно записать в виде dy^'=ƒ (х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y^''=ƒ (х), получаем: y^'= или y^'=j1 (x)+с₁. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения:

 

 

33. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: