Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e> 0 существует такое число М> 0, что для всех х, ï хï > M выполняется неравенство
При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают: Основные теоремы о пределах. Теорема 1. , где С = const. Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а. Теорема 2. Теорема 3. Следствие. Теорема 4. при Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если . Свойства бесконечно малых функций: 1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а. 4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая. Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – число или одна из величин +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин +¥ или -¥. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой. Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то
Некоторые замечательные пределы. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида , , , , и т.д. Существуют различные приемы раскрытия данных неопределенностей: деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной (при ); сокращение на множитель, создающий неопределенность; применение “замечательных” пределов и т.п. Лекция 6 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Понятие производной Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.
у f(x)
f(x0 +Dx) P Df f(x0) M
a b Dx 0 x0 x0 + Dx x
Рисунок 2. Геометрический смысл производной. Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. , где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)). Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Понятно, что это условие не является достаточным. Основные правила дифференцирования. Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х. 1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ 2) (u× v)¢ = u× v¢ + u¢ × v 3) , если v ¹ 0 Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах. Производные основных элементарных функций. 1)С¢ = 0; 9) 2)(xm)¢ = mxm-1; 10) 3) 11) 4) 12) 5) 13) 6) 14) 7) 15) 8) 16) Производная сложной функции. Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0. Следовательно: . Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢ (x)Dx, т.е. f¢ (x)Dx- главная часть приращения Dу. Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f¢ (x)Dx или dy = f¢ (x)dx. Можно также записать: |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 496; Нарушение авторского права страницы