Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Непосредственное интегрирование. ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования. Рассмотрим применение этого метода на примере: Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
Способ подстановки (замены переменных). Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢ (t)dt получается:
Пример. Найти неопределенный интеграл . Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
Интегрирование по частям. Способ основан на примении формулы интегрирования по частям ;
Пример. Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Вопросы для самоконтроля 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл, его геометрический смысл. 2. Свойства неопределённого интеграла. 3. Таблица интегралов некоторых функций. 4. Метод подстановки (замены переменной) в неопределенном интеграле. 5. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. 6. Интегрирование рациональных дробей. Лекция 9 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятие определенного интеграла. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y M
m
0 a xi b x
Рисунок 6. Составление интегральной суммы.
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …, xn – xn-1 = Dxn; Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e. x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn. Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение: а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла. 1) 2) 3) 4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то 5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: 6)
7) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что 8)
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
8)
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что
Вычисление определенного интеграла. Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 486; Нарушение авторского права страницы