Спектр одиночного прямоугольного импульса

 

Одиночный импульс можно рассматривать как непериодический сигнал, так как не существует конечного интервала времени T, отвечающего условию

 

. (1.22)

 

Наиболее просто и наглядно спектр непериодического сигнала можно получить из спектра периодического сигнала (1.16), принимая, что период T стремится к бесконечности, т.е. путем предельного перехода от ряда Фурье к интегралу Фурье

 

. (1.23)

 

Величину S(W) называют спектральной функцией или просто спектральной плотностью.

Рассчитаем спектральную плотность одиночного прямоугольного импульса длительностью t (рис. 1.9).

Согласно (1.23)

 

. (1.24)

 

Последнее выражение может быть представлено в несколько ином виде:

 

. (1.25)

 

Здесь текущая частота W может принимать любые значения от нулевой до бесконечно большой (сплошной спектр). График для S(W) приведен на рис. 1.10.

2p /τ

6p /τ

W

S(W)

U τ

4p /τ

τ /2

-τ /2

U(t)

U

t

 

 

Рис. 1.9. Прямоугольный импульс	Рис. 1.10. Спектр амплитуд прямоугольного импульса

 

При частотах W = 2kp /t (k = 1, 2, 3, …) спектральная плотность S(W) = 0. Учитывая характер распределения S(W), можно отметить, что требуемая полоса частот вполне определяется спектром в пределах первого (k =1) нулевого значения спектральной плотности. При этом W = 2p/t = 2p ^. F, где F=1/t. Таким образом, для непериодического сигнала необходимая полоса частот может быть найдена из уравнения

 

. (1.26)

 

Данный вывод вытекает и из того, что энергия непериодического сигнала пропорциональна интегралу от квадрата спектральной плотности

 

. (1.27)

 

Если спектр сигнала ограничивается частотой W_max, то энергия уменьшается до значения

 

. (1.28)

 

Зависимость энергии W_W от наибольшей частоты ограничения W_max спектра прямоугольного импульса показана на рис. 1.11.

 

 

%

WW / W

t Wmax p

 

Рис. 1.11. Зависимость энергии импульса от ширины сохраняемой части спектра

 

 

Из рис. 1.10 и 1.11 следует, что наибольшее энергетическое значение имеют составляющие низкочастотной части спектра импульса. С ростом ширины сохраняемой части спектра от нуля до величины W_max= 2p/t энергия W_W быстро увеличивается и достигает 90% всей энергии W. При дальнейшем увеличении спектра энергия W_W нарастает все медленнее. Таким образом, при ширине спектра W_max = 2p/t или F = 1/t обеспечивается передача значительной части энергии сигнала. Чем короче импульс, тем более широкий спектр должен быть сохранен.

Итак, мы рассмотрели как сообщения (первичные сигналы), с которыми приходится иметь дело в телемеханике, так и переносчики, с помощью которых они передаются. Прежде чем переходить к изучению методов образования сигналов, остановимся на некоторых вопросах преобразования непрерывных сообщений в дискретные. Такое преобразование имеет место в цифровых телеизмерительных системах.

 

1.5. Преобразование непрерывных сообщений
в дискретные сигналы

 

1.5.1. Квантование по времени (дискретизация). Непрерывные сообщения представляют собой непрерывные функции времени с бесконечным числом промежуточных точек. Для передачи таких сообщений без погрешности необходим канал связи с бесконечной пропускной способностью. На практике всегда передача сообщений осуществляется с ограниченными спектром частот и точностью, так как все каналы имеют ограниченную пропускную способность.

Если непрерывное сообщение имеет ограниченный спектр частот, оно всегда может быть передано своими значениями в отдельные моменты времени, т.е. может быть превращено в дискретное во времени сообщение, состоящее из последовательного во времени ряда значений.

Возможность такой замены была впервые установлена и сформулирована в 1933г. В. А. Котельниковым в виде следующей теоремы: «Если функция f(t) не содержит частот выше F_max Гц, то она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты времени, отстоящие друг от друга на 1/2F_max», т.е.

. (1.29)

 

Функцию с ограниченным спектром можно записать в виде тригонометрического ряда

 

, (1.30)

 

где k – порядковый номер отсчета функции.

При этом функция вполне определяется своими мгновенными значениями f(kDt), отсчитанными через равные интервалы времени Dt, называемые интервалами дискретизации (рис. 1.12).

Свойства ряда (1.30) основываются на свойстве функции (sin x)/x, равной 1 при x = 0 и равной 0 при x, кратных p (180, 360, 540° и т.д.).

Физический смысл преобразования состоит в том, что каждый член ряда (1.30) представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот с граничной частотой среза F_max на очень короткий импульс, возникающий в момент времени kDt (рис. 1.12) и имеющий площадь, равную мгновенному значению функции f(t).

Интересным свойством ряда (1.30) является то, что значения ряда в момент kDt определяются только k-м членом ряда, так как все другие члены в этот момент времени обращаются в нуль:

(1.31)

 

t

t

t

t

f (t)

f¢ (t)

f0(t)

f1(t)

f (0)

f (Dt)

f (2Dt)

f (3Dt)

f (2Dt)

f (3Dt)

Dt

2Dt

3Dt

Dt

t

π F

t

π F

f

max

max

sin

)

(

)

(

max

)

(

max

sin

)

(

t

t

π F

t

t

π F

t

f

D

-

D

-

D

)

(

max

sin

)

(

t

t

π F

t

f

D

-

D

 

 

f2 (t)

-

π F

t

t

max

(

)

D

t

t

f3(t)

)

(

max

)

(

max

sin

)

(

t

t

π F

t

t

π F

t

f

D

-

D

-

D

 

 

Рис. 1.12. Разложение функции f(t)с ограниченным спектром

частот по В.А.Котельникову

 

 

Следовательно, несмотря на то, что выходные функции перекрываются, значением заданной функции в момент отсчета является только одно из ее значений.

Согласно теореме Котельникова для однозначного представления функции с ограниченным спектром на интервале времени T достаточно иметь N значений этой функции, т.е.

 

. (1.32)

 

Аналогичные результаты можно получить для функций со спектром частот в промежутке от F₁ до F₂.

Таким образом, непрерывное сообщение сводится к сигналу в виде последовательности импульсов, амплитуда которых равна значению исходной функции, передаваемой в дискретные моменты времени kDt, а интервалы между ними Dt = 1/2F_max.

При выполнении условий (1.29) непрерывная и дискретная во времени функции обратимы между собой (тождественны).

Для преобразования дискретной функции в непрерывную нужно включить идеальный фильтр частот с частотой среза равной F_max.

Рассмотренный процесс преобразования непрерывного сообщения в дискретный во времени сигнал называется дискретизацией во времени.

В заключение следует отметить, что при определении на практике интервала дискретизации теорему Котельникова можно применять с поправкой

 

, (1.33)

 

где h – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции; при линейной интерполяции , при ступенчатой (относительная погрешность воспроизведения).

 

1.5.2. Квантование по времени и по уровню. При преобразовании аналоговой величины в код квантование осуществляется с заданными шагами как по времени, так и по уровню.

На рис. 1.13 показано, как производится квантование по уровню и по времени функции f(t). Сначала проводят линии, параллельные вертикальной оси f(t) с шагом Dt, затем параллельные горизонтальной оси t с шагом q.

Квантование осуществляют заменой через шаг Dt значений функции f(t) ближайшим дискретным уровнем. Этот уровень и является тем дискретным значением, которое заменяет значение функции в данный дискретный момент времени.

Если необходимо представить себе ступенчатую ломаную линию, которая в результате квантования заменяет непрерывную функцию, все полученные точки следует соединить так, как сделано на рис. 1.13.

Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q/2, то максимальная ошибка квантования по уровню

 

. (1.34)

 

При достаточно большом числе уровней квантования N распределение погре шности квантования в пределах от – q/2 до + q/2 будет равномерным независимо от закона распределения самой функции f(t). Среднеквадратичное значение погрешности квантования по уровню

 

(1.35)

,

 

т.е. в раз меньше максимальной.

f (t)

t

t1

t4

t5

t6

t7

t8

t9

t10

t2

t3

f(t)

f¢ (t)

Dt

q

 

 

Цифровой эквивалент

 

 

Рис. 1.13. Преобразование непрерывной величины в код

 

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде приведенной относительной погрешности (в процентах). По определению, . Подставив значение D из (1.34), получим выражение для шага квантования

 

. (1.36)

 

После того как непрерывное сообщение с помощью квантования будет преобразовано в дискретное сообщение, необходимо каждому его уровню присвоить цифровой эквивалент, как правило, в двоичном неизбыточном коде (см. рис. 1.13) и передать по каналу связи.

1234567Следующая ⇒

Поделиться: