Модуляция гармонических колебаний

 

Амплитудная модуляция

 

Изменение амплитуды носителя по закону передаваемого сообщения называется амплитудной модуляцией (АМ).

Если модулирующий сигнал (полезное сообщение) описывается выражением

(2.1)

а носитель – выражением

 

(2.2)

 

то согласно определению АМ амплитуда носителя будет изменяться по закону C(t)

. (2.3)

 

Подставим (2.3) в (2.2) и получим выражение для АМ сигнала

 

(2.4)

 

где k – коэффициент пропорциональности.

Подставив (2.1) в (2.4), получим

 

(2.5)

 

Где – коэффициент глубины амплитудной модуляции, или просто коэффициент модуляции.

Для того чтобы модуляция была без искажений, коэффициент модуляции не должен быть больше единицы, т.е. . При наступает перемодуляция, при которой форма огибающей не повторяет закон изменения исходного сигнала, кроме того, в точках перемодуляции фаза носителя изменяется на .

Временные диаграммы C(t), U_H(t), U_AM(t) показаны на рис. 2.1. Из временной диаграммы для АМ сигнала следует, что

 

.

 

Заменив в выражении (2.5) произведение косинусов, получим, что

 

(2.6)

т.е. спектр сигнала передачи, полученного в результате амплитудной модуляции, состоит из трех гармонических составляющих (рис. 2.2, а): основной (несущей) с частотой и двух боковых – верхней с частотой и нижней с частотой . Полоса частот, занимаемая АМ – сигналом, .

 

Рис. 2.1. Процесс получения амплитудно-модулированного сигнала

Рис. 2.2. Спектры АМ сигнала

 

 

Если модулирующее сообщение содержит n гармонических составляющих (а не одну гармонику), т.е. характеризуется полосой частот от W_min до W_max (рис. 2.2, б) и описывается выражением

(2.7)

 

то спектр сигнала передачи кроме основной составляющей будет содержать нижнюю (НБП) и верхнюю (ВБП) боковые полосы (см. рис. 2.2, в).

Выражение для АМ-сигнала в данном случае имеет вид:

 

a полоса частот Dw = 2W_max.

Как следует из (2.6) U_AM(t)может быть представлена в виде суммы (геометрической) трех векторов (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Векторное представление АМ-сигнала

 

 

Если на плоскости, вращающейся с круговой частотой w₁, изобразить вектор основной составляющей, то векторы боковых составляющих будут вращаться относительно этого вектора в противоположных направлениях с частотой W. Эти векторы в каждый момент времени занимают такое положение, что их равнодействующая всегда направлена вдоль вектора основной составляющей. В результате сложения трех векторов получаем результирующий вектор, длина которого меняется от U_min = U_{ω 1}(1-m) до U_max = U_{ω 1}(1+m).

Из анализа выражения (2.6) можно установить, что нижняя и верхняя боковые составляющие спектра являются независимыми и в равной степени отражают передаваемую информацию. Основная составляющая информационного значения не имеет. В связи с этим определим распределение мощности сигнала по составляющим спектра (рис. 2.2, а). В сигнале, модулированном по амплитуде, принято различать следующие средние мощности:

1) за период носителя при отсутствии модуляции – P₀ (мощность молчания)

; (2.9)

 

2) за период носителя во время модуляции

, (2.10)

 

; (2.11)

 

3) за период модулирующего сигнала (информационная мощность)

 

. (2.12)

 

Расчет P_спо (2.12) можно применять только в том случае, когда частоты переносчика w₁ и модулирующего сигнала W кратны между собой. В противном случае будет иметь место ошибка; однако, как правило, период модулирующего сигнала значительно больше периода переносчика и ошибка получается незначительной.

При m = 1 (стопроцентная модуляция)

 

P_max = 4P₀; P_min = 0; P_C = 1, 5P₀ (2.13)

 

Из выражения (2.13) следует, что полезное приращение средней мощности колебания, в основном определяющее условия выделения модулирующего сигнала при приеме, не превышает половины мощности режима молчания. Мощность в максимальном режиме P_max в четыре раза превышает мощность в режиме молчания. Эта особенность АМ является ее существенным недостатком, ухудшающим использование мощности передатчика.

На основании анализа спектра сигнала передачи, распределения мощности сигнала по составляющим его спектра и информационного значения составляющих можно заключить, что для уменьшения требуемой полосы частот, повышения помехоустойчивости сигнала за счет перераспределения мощности целесообразно исключить из спектра сигнала основную составляющую, как не имеющую информационной нагрузки (не зависит от коэффициента модуляции m_AM), и одну из боковых полос (нижнюю или верхнюю). При реализации этих условий будем иметь систему с передачей одной боковой полосы (однополосная амплитудная модуляция ОАМ), в которой полоса передаваемых частот сокращается в два раза, так что при многоканальной связи число каналов может быть почти удвоено, а уровень помех в каждом канале снижается в два раза, что равносильно увеличению отношения сигнал/шум в два раза.

Напряжение или мощность передаваемой боковой полосы при той же номинальной мощности усилителей канала связи могут быть повышены со значения mU_{ω 1}/2 до (1+m)U_{ω 1}, так как при обычной амплитудной модуляции наибольшее напряжение как раз равно этой величине.

После демодуляции величина исходного сигнала в случае АМ пропорциональна амплитуде огибающей mU_{ω 1}. В случае ОАМ при наибольшей глубине модуляции (m = 1) получается выигрыш в величине исходного сигнала в (m + 1)/m = 2 раза по напряжению, т.е. в четыре раза по мощности. Таким образом, результирующий выигрыш при переходе от двухполосной к однополосной АМ по мощности получается в восемь раз. Однополосный АМ-сигнал при передаче нижней боковой составляющей можно записать в виде

.

В заключение отметим, что функция, представленная в виде тригонометрического ряда (2.8), принадлежит к классу почти периодических функций. Таким образом, амплитудно-модулированное колебание является почти перио-дическим сигналом.

 

Частотная модуляция (ЧМ)

 

При частотной модуляции по закону модулирующего (передаваемого) сигнала

(2.14)

 

 

изменяется мгновенное значение частоты w₁(t) носителя (рис. 2.4)

 

. (2.15)

 

Рис. 2.5. Векторное представление ЧМ сигнала
Рис. 2.4. Процесс получения частотно–модулированного сигнала
Рис. 2.6. Зависимость mЧМ и wg от W при ЧМ

 

Мгновенное значение частоты ω ₁ модулированного колебания определяется выражением

 

, (2.16)

 

 

где к_ЧМ – коэффициент пропорциональности, устанавливающей связь между модулирующим сигналом и изменением частоты носителя; ω ₁ – частота немодулированного носителя.

Полная фаза модулированного колебания определяется в виде

 

. (2.17)

 

Отсюда видно, что при ЧМ имеет место изменение фазы колебания, т.е. ФМ.

Подставив (2.17) в (2.15), получим выражение для частотно-модулирован-ного сигнала

 

(2.18)

 

где w_д = к_ЧМ× U_W – девиация частоты, т. е. максимальное отклонение частоты от значения w₁; m_ЧМ= w_д /W – индекс модуляции.

Индекс частотной модуляции фактически равен максимальному отклонению фазы ЧМ-колебания, т.е. m_ЧМ = q_max. Он не зависит от средней w₁ (немодулированной) частоты, а определяется исключительно величиной девиации частоты w_д и модулирующей частотой W.

Векторное представление ЧМ-колебания для рассмотренного случая показано на рис. 2.5. Вектором U_{ω 1} показано немодулированное высокочастотное колебание. Чтобы этот вектор был неподвижен, предполагаем, что ось времени вращается по часовой стрелке с угловой скоростью w₁. Приращение фазы вектора U_{ω 1} изменяется по гармоническому закону с частотой W. Максимальное изменение фазы определяется индексом модуляции m_ЧМ, т.е. вектор U_{ω 1} отклоняется в обе стороны на угол m_ЧМ. Например, если m_ЧМ = 1, то это означает, что вектор U_{ω 1} отклоняется в обе стороны на один радиан. На практике с целью повышения помехоустойчивости приема при использовании ЧМ применяются большие значения m_ЧМ.

На рис. 2.6 приведены зависимости индекса модуляции m_ЧМ и девиации частоты w_дЧМ-колебания от частоты модулирующего сигнала W. Как видно из рис. 2.6 и соответствующих выражений, w_д от W не зависит и определяется только величиной U_W, а m_ЧМ с увеличением W убывает.

 

Фазовая модуляция (ФМ)

 

При фазовой модуляции по закону модулирующего сигнала изменяется начальная фаза.

Рассмотрим частный случай, когда модулирующий сигнал является гармоническим, т.е.

 

, (2.19)

 

 

а носитель описывается выражением

. (2.20)

 

Тогда полная фаза ФМ-колебания в соответствии с определением ФМ запишется в виде

. (2.21)

 

 

Обозначим

, (2.22)

 

где m_ФМ – индекс модуляции, т.е. максимальное отклонение фазы колебания; к_ФМ – коэффициент пропорциональности, определяющий связь между модулирующим сигналом и изменением фазы колебания.

Подставив (2.21) в (2.20), получим выражение для ФМ в виде

 

. (2.23)

 

Мгновенное значение частоты ФМ-колебания равно

 

, (2.24)

 

, (2.25)

 

где – девиация частоты колебания.

Процесс получения ФМ-сигнала показан на рис. 2.7, а векторное представление – на рис. 2.8.

Сравнение выражений (2.18) и (2.23) показывает, что при гармоническом модулирующем сигнале выражение, описывающее ЧМ-колебания, отличается от такового для ФМ-колебания только фазой гармонической функции, определяющей изменение полной фазы носителя.

Векторное представление ФМ-колебания (см. рис. 2.8) такое же, как и для ЧМ-колебания (рис. 2.5), т.е. это будет качающийся вектор с постоянной длиной U_{ω 1} и с максимальным углом отклонения в обе стороны m_ФМ = q_max.

На рис. 2.9 приведены зависимости индекса модуляции и девиации частоты ФМ-колебания от частоты модулирующего сигнала W. В соответствии с выражениями (2.22) и (2.25) индекс модуляции m_ФМ от W не зависит и определяется только величиной амплитуды модулирующего сигнала U_W, девиация частоты w_g прямо пропорциональна частоте W модулирующего сигнала.

 

Рис. 2.8. Векторное представление ФМ-сигнала
Рис. 2.9. Зависимость mФМ и wД от W при ФМ
Рис. 2.7. Процесс получения ФМ-сигнала

 

 

Различие ЧМ- и ФМ-колебаний. Итак, при модуляции одним тоном по характеру колебания и его свойствам нельзя заключить, с какой модуляцией мы имеем дело – с частотной или фазовой. Различие между ЧМ и ФМ проявляется при изменении частоты модуляции или при одновременной модуляции полосой частот.

При ЧМ величина девиации частоты остается постоянной при изменении частоты модуляции . Величина же индекса модуляции m_ЧМ = q_max с увеличением частоты модуляции убывает (см. рис. 2.6).

При ФМ величина индекса модуляции m_ФМ = q_max остается постоянной при изменении частоты модуляции . Девиация частоты изменяется прямо пропорционально частоте модуляции (см. рис. 2.9).

Если модуляция осуществляется не одним гармоническим, а сложным сигналом, то структура модулированного колебания будет различной для ЧМ и ФМ.

В случае ЧМ медленным изменениям модулирующего сигнала (т. е. низким частотам его спектра) будут соответствовать очень большие значения m_ЧМ= q_max(см. рис. 2.6). В случае ФМ медленным изменениям модулирующего сигнала будут соответствовать очень малые значения девиации частоты (см. рис. 2.9).

Наконец, Чм и ФМ различаются по способам их технического осуществления. При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту колебания задающего генератора. В случае ФМ задающий генератор вырабатывает
стабильную частоту, а фаза модулируется в одном из последующих каскадов передатчика.

Спектр сигнала с угловой модуляцией. Рассмотрим случай модуляции одним тоном. Выражение для сигнала, модулированного по частоте или фазе, запишем в виде

 

. (2.26)

 

Произведя преобразования, получим

 

(2.27)

 

Рассмотрим сначала спектр сигнала, когда m< < 1. Тогда можно считать, что

 

Подставив эти приближенные равенства в формулу (2.27), получим

 

 

(2.28)

 

Сравнивая выражения (2.6) и (2.28), заключаем, что спектр ЧМ или ФМ-сигнала при малом значении m состоит, как и спектр АМ сигнала, из несущей частоты ω ₁ и двух боковых частот ω ₁+W и ω ₁-W. Единственное отличие заключается в сдвиге фазы сигнала нижней боковой частоты (знак минус) на 180⁰ относительно его положения при АМ. Спектр амплитуд сигнала с угловой модуляцией при m< < 1 показан на рис. 2.10. Так как фаза отдельных составляющих сигнала этой диаграммой не учитывается, то характер диаграммы такой же, как и в случае АМ (см. рис. 2.2, а). Отметим, что в данном случае влияние индекса модуляции m совпадает с влиянием коэффициента глубины модуляции m_АМ, а ширина спектра

Dw =2Ω. (2.29)

 

Последний вывод говорит о том, что при очень малых величинах девиации частоты (по сравнению с W) ширина спектра от величины не зависит. Векторное изображение рассмотренного случая дано на рис. 2.11.

Оно отличается от векторного изображения АМ-сигнала (см. рис. 2.3) только направлением вектора, изображающего составляющую нижней боковой частоты. В результате вектор модуляции BA всегда перпендикулярен к направлению вектора U_{ω 1}. Вектор ОА, изображающий результирующее колебание, изменяется по фазе и по амплитуде. Однако при m = q_max< < 1 амплитудными изменениями можно пренебречь, вследствие чего модуляция может, в первом приближении, рассматриваться как чисто угловая.

Рис. 2.10. Спектр амплитуд сигнала с угловой модуляцией при m< < 1	Рис. 2.11. Векторное изображение сигнала с угловой модуляцией при m< < 1

 

 

Обратимся к рассмотрению более общего случая, когда m – любая величина. Для этого функции и из выражения (2.27) разложим в тригонометрические ряды.

В теории Бесселевых функций доказываются следующие соотношения:

 

(2.30)

 

где J_n(m) – Бесселева функция первого рода n-го порядка от аргумента m.

С учётом формул (2.30) выражение (2.27) перепишем в виде

 

 

Заменив в этом выражении произведения косинусов и синусов суммами, окончательно получим

 

(2.31)

 

Таким образом, при угловой модуляции спектр сигнала состоит из бесконечного числа боковых частот, отличающихся от несущей частоты w₁ на ±nW.

Примерный вид спектра сигнала с угловой модуляцией одним тоном W при m = 3и U_{ω 1}=1 В представлен на рис. 2.12. По мере удаления от w₁ амплитуды боковых составляющих уменьшаются.

 

Рис. 2.12. Спектр сигнала с угловой модуляцией при m=3 и W=const

 

 

Хотя теоретически спектр колебаний с угловой модуляцией бесконечен, практически он ограничен. Практическую ограниченность спектра сигнала с угловой модуляцией позволяют усмотреть свойства Бесселевых функций. При n > m функция J_n(m) (табл. 2.1) имеет малые значения. Это означает, что амплитуды боковых составляющих в рассмотренном спектре сигнала с угловой модуляцией становятся очень малыми и ими можно пренебречь. При увеличении m происходит перераспределение энергии. Все большая часть энергии переносится боковыми составляющими.

 

Таблица 2.1

Значения Бесселевых функций J_n(m)

 

m	J0	J1	J2	J3	J4	J5	J6	J7
0, 2	0, 99	0, 10	—	—	—	—	—	—
0, 4	0, 96	0, 20	0, 02	0, 001	—	—	—	—
0, 6	0, 91	0, 29	0, 044	0, 004	—	—	—	—
1, 0	0, 76	0, 44	0, 115	0, 02	0, 002	—	—	—
2, 0	0, 22	0, 58	0, 35	0, 13	0, 034	—	—	—
5, 0	0, 18	0, 33	0, 05	0, 36	0, 39	0, 26	0, 13	0, 05
10, 0	0, 25	0, 06	0, 25	0, 06	0, 22	0, 23	0, 015	0, 022

 

 

Этим и определяется практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией, т.е.

. (2.32)

 

Как следует из (2.32), практически ширина полосы равна удвоенной девиации частоты. Полоса частот, равная , называется полосой качания, так как в процессе модуляции несущая частота может принимать любое мгновенное значение внутри интервала .

Векторная диаграмма сигнала с угловой модуляцией представлена на рис. 2.13.

 

+W

 

 

+2W

-2W -W

-3W w₁

 

 

+m -m

+3W

 

Рис. 2.13. Векторное представление сигнала с угловой модуляцией

 

На диаграмме показаны вектор основной частоты w₁, первая (w₁± W), вторая (w₁ ± 2 W) и третья (w₁ ± 3W) пары боковых частот. Равнодействующая первой пары боковых частот направлена перпендикулярно к вектору основной частоты, второй – вдоль вектора основной, третьей – перпендикулярно и т.д. В результате сложения всех этих векторов получается вектор, вращающийся по дуге окружности с частотой W на угол ±m радиан.

Как указывалось выше, различие между ЧМ- и ФМ-сигналами при модуляции одним тоном проявляются только при изменении частоты модуляции W. Посмотрим, как будут изменяться спектры ЧМ- и ФМ-сигналов в этом случае.

Для ЧМ-сигналов при m> > 1 ширина спектра в соответствии с выражениями (2.18) и (2.32) равна

2w_Д =2к_ЧМU_W, (2.33)

 

т.е. зависит только от амплитуды U_W модулирующего сигнала.

Число спектральных линий (гармонических составляющих) практического спектра ЧМ-ко-лебаний с учетом (2.18), изменяется обратно пропорционально частоте W, т.е.

 

. (2.34)

 

Поэтому, например, при увеличении частоты модуляции W и постоянной амплитуде U_W число спектральных составляющих уменьшается (2.34), а практическая ширина спектра ЧМ-колебаний остается постоянной, ибо

. (2.35)

И, наоборот, с уменьшением частоты W число спектральных составляющих возрастает (2.34). При этом практическая ширина спектра в соответствии с (2.35) опять-таки остается постоянной.

Для ФМ-колебаний при m> > 1 ширина спектра в соответствии с выражениями (2.22), (2.25) и (2.32) равна

 

(2.36)

 

т. е. она зависит как от амплитуды U_Wmax, так и от частоты W модулирующего сигнала. При ФМ число спектральных линий спектра при U_W = const остается неизменным. С изменением W при U_W = const изменяется интервал между соседними гармоническими составляющими и общая ширина спектра ФМ-сигнала также изменится.

Сравнение АМ-, ЧМ- и ФМ-сигналов. Сравним указанные виды модуляции по их двум основным характеристикам: средней за период высокой частоты мощности и ширине спектра.

Для АМ-сигналов средняя за период высокой частоты мощность изменяется, так как изменяется амплитуда сигнала. Эта мощность в максимальном режиме в (1+m_АМ)² раз больше мощности молчания. Ширина спектра АМ сигнала зависит от величины максимальной частоты модуляции и равна 2W_max.

Для ЧМ-сигналов средняя за период высокой частоты мощность постоянна, так как амплитуда колебаний неизменна (U_{ω 1}.= const). Ширина спектра ЧМ-сигнала, равна 2ω _д, зависит только от амплитуды модулирующего сигнала и не зависит от его частоты.

Для ФМ-колебаний средняя за период высокой частоты мощность также неизменна, ибо U_{ω 1} = const. Ширина спектра равна 2mW = 2ω _д, и зависит как от амплитуды модулирующего сигнала, так и от его частоты.

Таким образом, практическая ширина спектра колебаний с угловой модуляцией в m раз больше ширины спектра АМ-колебаний.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: