Отложенный пожизненный аннуитет пренумерандо

Предположим, что договоры страхования пожизненной ренты заключают все лица, достигшие возраста х лет, т.е. по таблице смертности l_x человек. Размер годовой ренты для установления нетто-ставки со 1 руб. страховой выплат принимаем условно 1 руб. Начало выплаты ренты через m лет. Число доживших до получения ренты лиц через m лет будет равно l_{x+ m}.

В первый год страховщику необходимо для выплат ренты всем застрахованным лицам иметь фонд денежных средств l_x+m ´ 1. Во второй год выплат ренты фонд денежных средств должен быть равен l_x+m ´ 1. В последний год выплат фонд денежных средств l₁₀₀ ´ 1, где 100 — предельный возраст по таблице смертности.

Единовременно собранного фонда взносов вместе с доходом от инвестирования страховых резервов должно хватить на выплаты каждого года.

Текущая стоимость будущих выплат на момент заключения договора составит соответственно

l_x+m V^m , l_x+m+1 V^m+1, ..., l₁₀₀ V^100-х.

Фонд взносов

l_x+m V^m + l_x+m+1 V^m+1+...+ l₁₀₀ V^100-х.

В расчете на одного страхователя, заключившего договор в возрасте х лет

.

С использованием коммутационных чисел формула приобретает следующий вид

.

Формула расчета нетто-ставки отложенного пожизненного аннуитета пренумерандо на 1 руб. выплат для страхователя в возрасте х лет

. (6)

Отложенный пожизненный аннуитет постнумерандо

Формула расчета нетто-ставки аннуитета постнумерандо выводится аналогично формуле (6).

Начало выплаты ренты через m лет в конце года. Число доживших до получения ренты лиц будет равно l_{x+ m+1}.

Фонд выплат первого года страхования составит l_x+m+1 , второго года - l_x+m+2, последнего - l₁₀₀.

Текущая стоимость будущих выплат на момент заключения договора

l_x+m+1 V^m+1 , l_x+m+2 V^m+2, ..., l₁₀₀ V^100-х+1.

Фонд взносов в расчете на одного х-летнего страхователя

.

Формула расчета нетто-ставки отложенного пожизненного аннуитета постнумерандо на 1 руб. выплат для страхователя в возрасте х лет

. (7)

Пример:

Страхователь в возрасте 35 лет покупает пожизненную ренту (пенсию) постнумерандо, выплаты которой начинаются с возраста 60 лет и составляют 12 тыс. руб. в год.

Ставка доходности 5%.

Найти стоимость такой ренты.

руб. на 1 руб. выплат.

Стоимость ренты П=2´ 12 000=24 000 руб.

24 тыс. руб. необходимо 35-летнему страхователю внести в страховой фонд, чтобы через 25 лет получать ежегодную пенсию в размере 12 тыс. руб.

 

Отложенный аннуитет с выплатами пренумерандо в течение t лет

Фонд выплат первого года страхования (аналогично пожизненному аннуитету) составит l_x+m, второго года - l_x+m+1, и т.д.Поскольку выплаты ограничены периодом t лет, фонд выплат последнего года составит l_x+m+t-1.

Текущая стоимость будущих выплат на момент заключения договора

l_x+m V^m , l_x+m+1 V^m+1, ..., l_x+m+t-1 V^m+t-1.

Фонд взносов в расчете на одного страхователя

Формула расчета нетто-ставки отложенного аннуитета постнумерандо на 1 руб. выплат в течение t лет для страхователя в возрасте х лет

. (8)

 

Отложенный аннуитет с выплатами постнумерандо в течение t лет

Фонд выплат первого года страхования составит l_x+m+1 , второго года - l_x+m+2, последнего l _x+m+t.

Текущая стоимость будущих выплат на момент заключения договора

l_x+m+1 V^m+1 , l_x+m+2 V^m+2, ..., l _x+m+tV ^m+t.

Фонд взносов в расчете на одного страхователя

Формула расчета нетто-ставки отложенного аннуитета постнумерандо на 1 руб. выплат в течение t лет для страхователя в возрасте х лет

(9)

Пример:

Рассчитать размер единовременного взноса для страхователя в возрасте 22 лет, если по условиям договора страховщик должен выплачивать в конце каждого года по 5 тыс. руб. через 10 лет в течение 8 лет. Ставка доходности 5%.

руб. на 1 руб. выплат.

Стоимость договора П=3, 96 ´ 5 000=19 797, 44 руб.

 

Немедленный аннуитет

Отсрочки выплат нет, т.е. т=0. Формулы (6) - (9)принимают следующий вид:

формула расчета нетто-ставки немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо на 1 руб. выплат для страхователя в возрасте х лет

, (10)

формула расчета нетто-ставки немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо на 1 руб. выплат для страхователя в возрасте х лет

, (11)

формула расчета нетто-ставки немедленного аннуитета пренумерандо на 1 руб. выплат в течение t лет для страхователя в возрасте х лет

, (12)

формула расчета нетто-ставки немедленного аннуитета постнумерандо на 1 руб. выплат в течение t лет для страхователя в возрасте х лет

(13)

 

Пример:

Молодой человек в возрасте 17 лет планирует получить высшее образование. Срок обучения - 5 лет. Стоимость года обучения 10 тыс. руб. Какую сумму необходимо внести в страховую в компанию перед началом обучения, чтобы компания взяла на себя оплату учебы? Ставка доходности 5%.

Так как плата за учебу вносится в начале года, нетто-ставка составит

руб. на1 руб. выплат.

Стоимость договора 4, 53´ 10 000=45 300 руб.

 

4.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами

В страховой практике часто используют накопительные схемы страхования, в которых фиксируются величины не страховых выплат, а уплачиваемых взносов. Искомая величина, подлежащая определению с помощью актуарных расчетов, - накопленная сумма вклада.

Если каждый член группы численности l_x в возрасте х летвнесет в фонд взнос в размере 1 руб., то через t лет накопленная сумма будет равна . В расчете на одного дожившего до возраста (х+ t) это составит

. (14)

Как видно из формулы (14), наращение суммы будет происходить быстрее, чем на банковском вкладе с такой же процентной ставкой, за счет перераспределения вкладов умерших между дожившими.

Если каждый член группы будет вносить в начале каждого года в фонд сумму в размере 1 руб. (рента пренумерандо), то накопленная сумма за t_упл лет в расчете на одного дожившего будет равна

(15)

Если взносы будут вноситься в конце каждого года (рента постнумерандо), то аналогичным образом получим

(16)

Пример:

Рассчитать сумму, накопленную для страхователя в возрасте 30 лет за 10 лет, если ежегодные взносы пренумерандо будут равны 1 тыс. руб.

руб. – накопленная сумма, если вносить по 1 руб.

Если вносить ежегодно по 1 тыс руб., за 10 лет накопится

13, 7 ´ 1 000 =13 700 руб.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: