Уравнения плоской и сферической волн

 

Уравнение волны – это уравнение, выражающее зависимость смещения колеблющейся частицы, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени:

(1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени , так и относительно координат . Кроме того, точки, отстоящие на расстоянии l друг от друга, колеблются одинаковым образом.

Найдём вид функции x в случае плоской волны.

Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию. В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны оси . Все величины, характеризующие колебательное движение частиц среды, зависят только от времени и координаты . Смещение будет зависеть только от и : . Пусть колебание точки с координатой (источник колебаний) задается функцией . Задача: найти вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению . Для того, чтобы пройти путь от плоскости до этой плоскости, волне требуется время . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости , будут отставать по фазе на время от колебаний частиц в плоскости . Тогда уравнение колебаний частиц в плоскости будет иметь вид:

. (2)

В итоге получили уравнение плоской волны распространяющейся в направлении возрастания :

. (3)

В этом уравнении – амплитуда волны; – циклическая частота; – начальная фаза, которая определяется выбором начала отсчета и ; – фаза плоской волны.

Пусть фаза волны будет величиной постоянной (зафиксируем значение фазы в уравнении волны):

Сократим это выражение на и продифференцируем. В итоге получим:

или .

Таким образом, скорость распространения волны в уравнении плоской волны есть не что иное, как скорость распространения фиксированной фазы волны. Такую скорость называют фазовой скоростью.

Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несёт никакой информации, а любой сигнал это модулированная волна, т.е. не синусоидальная (не гармоническая). При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скорости света. Здесь нет парадокса, т.к. скорость перемещения фазы не есть скорость передачи (распространения) энергии. Энергия, масса не могут двигаться со скоростью больше чем скорость света c.

Обычно уравнению плоской волны придают симметричный относительно и вид. Для этого вводится величина , которая называется волновым числом. Преобразуем выражение для волнового числа. Запишем его в виде ( ). Подставим это выражение в уравнение плоской волны:

.

Окончательно получим

. (4)

Это уравнение плоской волны, распространяющейся в сторону возрастания . Противоположное направление распространения волны будет характеризоваться уравнением, в котором поменяется знак перед членом .

.

Удобна запись уравнения плоской волны в следующем виде.

Обычно знак Re опускают, подразумевая, что берётся только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме этого вводится комплексное число.

Это число называется комплексной амплитудой. Модуль этого числа даёт амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны.

Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в следующем виде.

Всё рассмотренное выше относилось к среде, где отсутствовало затухание волны. В случае затухания волны, в соответствии с законом Бугера (Пьер Бугер, французский учёный (1698 – 1758)), амплитуда волны будет уменьшаться при её распространении. Тогда уравнение плоской волны будет иметь следующий вид.

(5)

a – коэффициент затухания волна. A₀ – амплитуда колебаний в точке с координатами . Это величина обратная расстоянию, при котором амплитуда волны уменьшается в e раз.

 

Найдем уравнение сферической волны. Будем считать источник колебаний точечным. Это возможно, если ограничиться рассмотрением волны на расстоянии, много большем размеров источника. Волна от такого источника в изотропной и однородной среде будет сферической. Точки лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой

Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не будет оставаться постоянной. Она убывает с расстоянием от источника по закону . Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

или

В силу сделанных предположений уравнение справедливо только при , значительно превышающих размеры источника волн. Уравнение (6) неприменимо для малых значений , т.к. амплитуда устремилась бы к бесконечности, а это абсурд.

При наличии затухания в среде уравнение сферической волны запишется следующим образом.

 

Групповая скорость

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность " горбов" и " впадин".

(1)

Фазовая скорость этой волны или (2)

С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все " горбы" одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (1). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключёнными в некотором интервале Dw. Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте,

называется волновым пакетом или группой волн.

Выражение для группы волн может быть записано следующим образом.

(3)

Значок w подчеркивает, что эти величины зависят от частоты.

Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции). Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия Dw < < w₀.

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v. Дисперсия это зависимость фазовой скорости синусоидальной волны в среде от частоты. Явление дисперсии мы рассмотрим позже в разделе " Волновая оптика". В отсутствии дисперсии скорость перемещения волнового пакета совпадает с фазовой скорость v. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью. Поэтому волновой пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.

Если дисперсия невелика, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Поэтому движению всего пакета можно приписать некоторую скорость U.

Скорость, с которой перемещается центр волнового пакета (точка с максимальным значением амплитуды) называется групповой скоростью.

В диспергирующей среде v¹ U. Вместе с движением самого волнового пакета происходит движение " горбов" внутри самого пакета. " Горбы" перемещаются в пространстве со скоростью v, а пакет в целом со скоростью U.

Рассмотрим подробнее движение волнового пакета на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными частотами w (разными длинами волн l ).

Запишем уравнения двух волн. Примем для простоты начальные фазы j₀ = 0.

Здесь

Пусть Dw < < w, соответственно Dk < < k.

Сложим колебания и проведём преобразования с помощью тригонометрической формулой для суммы косинусов:

В первом косинусе пренебрежём Dwt и Dkx, которые много меньше других величин. Учтём, что cos(–a) = cosa. Окончательно запишем.

(4)

Множитель в квадратных скобках изменяется от времени и координаты значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой, описываемой первым сомножителем. Графически волна, описываемая выражением (4) представлена на рисунке, изображённом выше.

Результирующая амплитуда получается в результате сложения волн, следовательно, будут наблюдаться максимумы и минимумы амплитуды.

Максимум амплитуды будет определяться следующим условием.

(5)

m = 0, 1, 2…

x_max – координата максимальной амплитуды.

Косинус принимает максимальное значение по модулю через p.

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн.

Разрешив (5) относительно x_max получим.

Так как фазовая скорость , то называется групповой скоростью. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды волнового пакета. В пределе, выражение для групповой скорости будет иметь следующий вид.

(6)

Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн.

Следует отметить, что при точном учёте всех членов разложения (для произвольного числа волн), выражение для амплитуды получается таким, что из него следует, что волновой пакет со временем расплывается.
Выражению для групповой скорости можно придать другой вид.

, следовательно, выражение для групповой скорости можно записать следующим образом.

(7)

– неявное выражение, так как и v, и k зависят от длины волны l.

Тогда (8)

Подставим в (7) и получим.

(9)

Это так называемая формула Рэлея. Дж. У. Рэлей (1842 – 1919) английский физик, нобелевский лауреат 1904 года, за открытие аргона.

Из этой формулы следует, что в зависимости от знака производной групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.

В отсутствии дисперсии

Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Этот случай наблюдается в области аномальной дисперсии. Это мы будем рассматривать в разделе " Волновая оптика".

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: