Эффект Доплера для звуковых волн

 

Известно, что при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электропоезда, его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении от наблюдателя – более низким, чем тот же сигнал от неподвижного электропоезда. Это явление впервые теоретически обосновал в 1824 году австрийский физик Христиан Доплер (1803 – 1853).

Звуковой эффект Доплера – это изменение частоты волны, принимаемой приёмником, при движении источника волн или приёмника относительно среды, в которой распространяется волн.

Существует также оптический эффект Доплера. Его мы рассмотрим несколько позже.

Рассмотрим подробнее звуковой эффект Доплера.

Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой . Скорости движения источника и приемника относительно среды, в которой распространяется волна, обозначим соответственно и . Скорости положительны, если источник и приемник сближаются и отрицательны, если удаляются. Скорость распространения волны – . Частота колебаний источника равна . Если источник и приемник покоятся относительно среды, то частота принимаемого сигнала будет равна частоте колебаний источника . Если же источник или приемник, или оба движутся относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний , воспринимаемых приемником, оказывается отличной от частоты источника: .

Рассмотрим источник звука A и приёмник B. Пусть они будут неподвижны относительно друг друга и относительно среды. За 1 с через наблюдателя (приемник) пройдёт ν колебаний. , где v – скорость распространения волны в среде.

1. Пусть теперь наблюдатель (приёмник) движется к источнику со скоростью v_пр.

Через 1 с наблюдатель окажется в точке B', пройдя путь v_пр. Через наблюдателя (приёмник) пройдёт некоторое количество колебаний (волн) и плюс ещё столько, на какое число длин волн он продвинулся.

 

В общем случае.

Плюс, когда приёмник приближается, а минус, когда удаляется.

2. Пусть теперь источник движется от наблюдателя со скоростью v_ист.

За время одного периода T колебания распространяются на длину волны λ . Следующее колебание источник начнёт уже, находясь в точке A'. Поэтому волна будет иметь длину λ '.

Так как длина волны изменилась, то, следовательно, изменилась и частота. Она стала равной ν ', так как фазовая скорость распространения волны v определяется лишь свойствами упругой среды.

Отсюда имеем.

В общем случае.

В самом общем случае, когда движутся и источник, и приемник, можно записать.

v –скорость звука в среде.

Если источник и приёмник движутся навстречу друг другу, то имеем.

Если они удаляются друг от друга, то можно записать.

Акустический или звуковой эффект Доплера широко используется в гидролокации. Первые гидролокаторы были разработаны в 1916 году во время первой мировой войны совместно французским ученым П. Ланжевеном и россиянином К.В. Шиловским.

 

 

Волновое уравнение

 

В области волновых процессов существуют уравнения, называемые волновыми , которые описывают все возможные волны, независимо от их конкретного вида. По смыслу волновое уравнение подобно основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки. Уравнение любой конкретной волны является решением волнового уравнения. Получим его. Для этого продифференцируем дважды по t и по всем координатам уравнение плоской волны .

(1)

Отсюда получим.

(*)

Сложим уравнения (2).

(3)

Заменим x в (3) из уравнения (*). Получим.

Учтём, что и получим.

, или . (4)

Это и есть волновое уравнение. В этом уравнении – фазовая скорость, – оператор набла или оператор Лапласа.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (4), описывает некоторую волну, причём корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при второй производной смещения от времени, даёт фазовую скорость волны.

Легко убедиться, что волновому уравнению удовлетворяют уравнения плоской и сферической волн, а также любое уравнение вида

Для плоской волны, распространяющейся в направлении , волновое уравнение имеет вид:

.

Это одномерное волновое уравнение второго порядка в частных производных, справедливое для однородных изотропных сред с пренебрежимо малым затуханием.

 

Электромагнитные волны

Рассматривая уравнения Максвелла, мы записали важный вывод о том, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. В свою очередь переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле и т.д. Электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. Изменение состояния этого поля имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.

Рассмотрим однородную нейтральную ( ) непроводящую ( ) среду, например, для простоты, вакуум. Для этой среды можно записать:

, .

Если рассматривается любая иная однородная нейтральная непроводящая среда, то в записанные выше уравнения нужно добавить и .

Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в общем виде.

, , , .

Для рассматриваемой среды эти уравнения имеют вид:

, , ,

Запишем эти уравнения следующим образом:

, , , .

Любые волновые процессы должны описываться волновым уравнением, которое связывает вторые производные по времени и координатам. Из записанных выше уравнений путем несложных преобразований можно получить следующую пару уравнений:

,

Эти соотношения представляют собой идентичные волновые уравнения для полей и .

Вспомним, что в волновом уравнении ( ) множитель перед второй производной в правой части – это величина, обратная квадрату фазовой скорости волны. Следовательно, . Оказалось, что в вакууме эта скорость для электромагнитной волны равна скорости света.

Тогда волновые уравнения для полей и можно записать как

и .

Эти уравнения указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых в вакууме равна скорости света.

Математический анализ уравнений Максвелла позволяет сделать вывод о структуре электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. В частности, можно сделать вывод о векторной структуре волны. Электромагнитная волна является строго поперечной волной в том смысле, что характеризующие ее векторы и перпендикулярны к вектору скорости волны , т.е. к направлению ее распространения. Векторы , и , в том порядке, в котором они записаны, образуют правовинтовую ортогональную тройку векторов. В природе существуют только правовинтовые электромагнитные волны, и не существует левовинтовых волн. В этом состоит одно из проявлений законов взаимного создания переменных магнитных и электрических полей.

Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, а мгновенные значения и в любой точке пространства связаны соотношением .

Рассмотрим для простоты вид и свойства одномерного волнового уравнения электромагнитной волны в однородной нейтральной непроводящей среде. Пусть электромагнитная волна будет строго монохроматической (волны и имеют одну и ту же частоту) и распространяется в направлении . Векторы и перпендикулярны направлению распространения волны, следовательно, их проекции на ось равны нулю. Волновые уравнения такой волны будут иметь вид:

,

Этим уравнениям удовлетворяют плоские линейно поляризованные монохроматические волны

,

Мгновенная картина электромагнитной волны в некоторый момент времени изображена на рисунке.

Индексы и означают, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей и . и соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; - частота волны;

– волновое число; - начальные фазы колебаний в точках с координатой (колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одной фазе, так что в обоих уравнениях одинаково).

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: