Дифференциальные уравнения однородной двухпроводной линии

Стр 1 из 7Следующая ⇒

ОМСК 2011

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Учебное пособие

Омск 2011

УДК 621.3(075.8)

ББК 31.279я73

К63

Электрические цепи с распределенными параметрами: Учебное пособие / А. А. Комяков, Н. В. Пашкова, А. В. Пономарев, А. Ю. Тэттэр; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2011. 71 с.

Рассмотрены физические основы и особенности описания волновых процессов в цепях с распределенными параметрами. В качестве объекта изучения взята однородная двухпроводная линия. В круг рассматриваемых вопросов включены способы расчета режимов синусоидальных, постоянных и несинусоидальных периодических напряжений (токов) линий. Приведены типовые примеры, раскрывающие особенности реализации теоретических положений, и задания для самостоятельной работы.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 190402 – «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте», 190401 – «Электроснабжение железных дорог» – и 220201 – «Управление и информатика в технических системах».

Библиогр.: 6 назв. Табл. 2. Рис. 16.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор А. П. Попов;

доктор техн. наук, профессор Г. П. Маслов.

Омский гос. университет

путей сообщения, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................................................................... 5

1. Основы теории электрических цепей с распределенными параметрами 7

1.1. Дифференциальные уравнения однородной двухпроводной линии 7

1.2. Установившийся синусоидальный режим линии............................ 10

1.3. Представление решений в форме бегущих волн............................ 14

1.4. Вторичные параметры однородной линии.................................... 19

1.5. Входное сопротивление линии и коэффициент отражения............ 22

1.6. Режим согласованной нагрузки линии........................................... 28

1.7. Понятие неискажающей линии........................................................ 33

1.8. Понятие линии без потерь............................................................... 36

1.9. Соотношения для линий постоянного тока.................................... 41

1.10. Определение параметров линии по данным режимов холостого
хода и короткого замыкания...................................................................... 43

2. Типовые примеры и рекомендации по решению задач........................ 48

2.1. Расчет параметров установившегося режима................................ 48

2.2. Линия в режиме согласованной нагрузки....................................... 52

2.3. Линия без потерь.............................................................................. 53

2.4. Расчет установившегося режима линии постоянного тока............ 56

2.5. Определение параметров линии по данным режимов холостого
хода и короткого замыкания...................................................................... 58

2.6. Неискажающая линия...................................................................... 60

2.7. Задачи для самостоятельной работы.............................................. 65

3. Индивидуальное задание......................................................................... 67

Библиографический список......................................................................... 70

ВВЕДЕНИЕ

Электрические цепи с распределенными параметрами представляют собой класс цепей, особенности функционирования которых зависят от распределения сопротивлений, проводимостей, индуктивностей и емкостей по пространственным координатам. К таким цепям относятся различные воздушные и кабельные линии из области энергетики, проводной связи, радиотехники, передачи информации. Использование электрических линий различных конструкций и назначения характерно и для железнодорожного транспорта. Это контактная сеть электрифицированных участков железных дорог, питающие эти участки высоковольтные линии электропередачи, рельсовые цепи, линии автоблокировки, воздушные линии и кабели связи.

Протяженность линии оказывает существенное влияние на протекание в ней электромагнитных процессов, так как появляется необходимость учета конечной скорости распространения этих процессов. Поэтому основные соотношения и уравнения линий содержат две независимые переменные – время и одну пространственную координату. Кроме распределенных по длине параметров проводов воздушных линий или жил кабелей учитываются распределенные параметры среды.

В качестве объекта изучения используется модель двухпроводной однородной линии как простейшего представителя рассматриваемого класса цепей. Соотношения и закономерности, установленные для такой цепи, могут быть в случае необходимости перенесены и на другие типы линий.

Из-за распределенного характера параметров линий электромагнитные процессы в них носят волновой характер. Математическое описание этих процессов строится на использовании понятий прямых и обратных волн напряжения и тока. Такое представление адекватно отражает физическую сущность процессов в линиях.

Исследование процессов в линиях характеризуется рядом особенностей. В отличие, например, от цепей с сосредоточенными параметрами фундаментальные законы электрических цепей – законы Кирхгофа – не могут быть записаны для линии в целом, что определяет специфику расчетов по определению напряжений и токов в линии.

В учебной литературе по теории электрических цепей часто применяется термин «длинная линия». В основу этого понятия положено условие соизмеримости протяженности линии с длиной волны синусоидального напряжения (тока). В предлагаемом учебном пособии понятие длинной линии не используется в силу того, что волновые процессы имеют место не только в длинных линиях. Целесообразность волнового описания напряжений (токов) в том или ином случае диктуется спецификой решаемой задачи. Например, исключительное большинство радиочастотных линий относятся к длинным в общепринятом смысле. Линии же электропередачи протяженностью порядка 100 – 200 км таковыми не являются, но, как известно, корректное исследование ряда возникающих в них нестационарных режимов может быть проведено при условии учета волновых явлений.

Целью данного учебного пособия является оказание помощи студентам в освоении теории электрических цепей с распределенными параметрами. Учебное пособие состоит из трех разделов.

В первом разделе излагаются вопросы теории однородных двухпроводных линий без учета влияния земли. Основное внимание уделено режиму синусоидальных напряжений и токов. Режим постоянных напряжений и токов рассматривается как частный случай первого. Приведены уравнения и основные расчетные соотношения для определения токов и напряжений, рассмотрены наиболее характерные режимы линий, методика определения параметров линий по данным режимов холостого хода и короткого замыкания.

Во втором разделе представлены типовые примеры и рекомендации по решению задач, раскрывающие особенности реализации теоретических положений, затронутых в первом разделе.

В третьем разделе приведено индивидуальное задание, выполнение которого направлено на закрепление студентами полученных теоретических
сведений.

При написании настоящей работы использованы материалы, содержащиеся в учебном пособии доктора технических наук, профессора В. Н. Зажирко «Электрические цепи с распределенными параметрами», изданном в 1997 г. в Омской государственной академии путей сообщения.

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Используются отношения и закономерности, установленные для модели двухпроводной однородной линии [1 – 6].

Понятие неискажающей линии

Любая линия в той или иной мере искажает передаваемый по ней электрический сигнал. Форма напряжения (тока) не будет одинаковой в начале и в конце линии.

Передаваемый сигнал, например, искажается, если линия не находится в режиме согласованной нагрузки. Имеют место отражения сигнала в начале и в конце линии; отраженные волны, накладываясь на передаваемый сигнал (прямую волну), изменяют его форму.

Вопрос согласования усложняется тем, что условие (1.63) может быть выполнено только на одной частоте. Импульсные сигналы имеют широкий спектр частот, следовательно, в общем случае полное согласование невыполнимо.

Вторая причина искажения электрических сигналов состоит в зависимости параметров линии от частоты.

Первичные параметры r₀, L₀ и g₀ изменяются с увеличением частоты из-за влияния поверхностного эффекта.

Для иллюстрации данного положения в табл. 1.1 приведены параметры одного из типов кабелей связи, позволяющие судить о характере зависимости первичных параметров от частоты.

Таблица 1.1

Первичные параметры симметричного кабеля связи типа ТЗ
с диаметром жил 1, 0 мм

Параметр	Частота f, Гц

r₀, Ом/км С₀·10^–9, Ф/км L₀·10^–3, Гн/км g₀·10^–6, См/км	0, 777 0, 674	47, 1 0, 777 2, 88	47, 2 0, 777 5, 33	47, 7 0, 776 11, 73	48, 6 0, 776 18, 3	49, 9 0, 776 25, 65	52, 6 0, 775 44, 8	56, 2 0, 771 66, 5

Из данных табл. 1.1 видно, что сопротивление r₀ и проводимость g₀ увеличиваются с ростом частоты, а индуктивность L₀, наоборот, уменьшается. Постоянной остается лишь емкость C₀.

Частота входит в формулы для определения вторичных параметров и γ , поэтому последние также являются функциями частоты.

Совокупность указанных факторов определяет так называемые амплитудно-фазовые искажения передаваемых по линии электрических сигналов. В подтверждение сказанному на рис. 1.11 приведены зависимости модуля и фазы волнового сопротивления линии от частоты с параметрами r₀ = 0, 7 Ом/км; L₀ = 1, 4·10^–3 Гн/км; g₀ = 9·10^–6 См/км; C₀ = 8, 6·10^–9 Ф/км без учета явления поверхностного эффекта. Рис. 1.12 позволяет судить о характере изменения коэффициента затухания α и коэффициента фазы β .

Рис. 1.11. Зависимость модуля z_в и фазы φ _в волнового сопротивления от частоты

Рис. 1.12. Зависимость коэффициента затухания α и
коэффициента фазы β от частоты

Наличие искажающих факторов приводит к тому, что гармонические составляющие напряжений и токов затухают неодинаково и перемещаются вдоль линии с различными фазовыми скоростями (дисперсия волн).

В теории цепей с распределенными параметрами существует понятие неискажающей линии, т. е. линии, обеспечивающей отсутствие искажающих факторов. Это линия, которая находится в режиме согласованной нагрузки, а ее параметры удовлетворяют определенному условию. Последнее сводится к равенствам, установленным О. Хевисайдом в 1893 г.:

или , или (1.71)

При выполнении равенств (1.71) получаем:

волновое сопротивление

(1.72)

коэффициент распространения

(1.73)

откуда

(1.74)

и фазовую скорость

(1.75)

Волновое сопротивление неискажающей линии, как видно из уравнения (1.72), не зависит от частоты, т. е. является действительным числом. Следовательно, упрощаются вопросы согласования с линией нагрузок или приемных устройств, имеющих активные входные сопротивления, что важно для области радиотехники, связи, электроники. Постоянство коэффициента затухания обеспечивает одинаковое относительное изменение амплитуд всех гармонических составляющих передаваемого сигнала. Линейная зависимость коэффициента фазы β от частоты является непременным условием неискажающей передачи сигналов в четырехполюсниках и линиях. Наконец, одинаковая фазовая скорость всех гармоник исключает дисперсию волн.

Чтобы линия удовлетворяла условиям (1.71), требуется увеличение индуктивности L₀. При этом снижается фазовая скорость, что следует из выражения (1.75).

Выполнение условий (1.71) в практических условиях затруднено, поэтому вопросы передачи сигналов по кабелям и воздушным линиям решаются с использованием схемотехнических и электронных средств для усиления и коррекции сигналов в определенных точках линии.

Понятие линии без потерь

Используемые в практике линии с распределенными параметрами характеризуются потерями. Однако при высоких частотах могут выполняться условия: , , поэтому для упрощения расчетов и выявления некоторых специфических свойств линии полагают, что r₀ = 0 и g₀ = 0. В результате возникло понятие «линия без потерь».

Линия без потерь характеризуется следующими параметрами:

волновым сопротивлением

(1.76)

коэффициентом распространения

(1.77)

коэффициентами затухания и фазы

(1.78)

фазовой скоростью

(1.79)

Приведенные соотношения (1.76) – (1.79) показывают, что линия без потерь является частным случаем неискажающей линии. Волновое сопротивление здесь чисто активное, следовательно, согласование такой линии возможно только с приемными устройствами, входное сопротивление которых также
активно.

Обратимся далее к уравнениям (1.20) и запишем их с учетом выражений (1.77) и (1.78):

(1.80)

Для гиперболических функций мнимого аргумента известны формулы:

(1.81)

Подстановка формул (1.81) в выражения (1.80) приводит к соотношениям:

(1.82)

Точно так же из системы уравнений (1.19) выводится пара соотношений:

(1.83)

В свою очередь соотношения (1.17) для линии без потерь приобретают вид:

(1.84)

В правую часть системы уравнений (1.84) входят комплексы прямой и обратной волн, описывающие, в отличие от выражений (1.25) и (1.28), незатухающие волны. Например, для расчета напряжения выражения бегущих волн в линии без потерь имеют вид:

(1.85)

Линия без потерь с точки зрения передачи энергии имеет ряд особенностей. Так, если нагрузка в конце линии активная или активно-реактивная, то имеет место перенос энергии вдоль линии и режим ее характеризуется наличием незатухающих бегущих волн напряжения и тока. В режимах холостого хода и короткого замыкания энергия вдоль линии не передается, поэтому соотношения (1.82) и (1.84) описывают режим стоячих волн.

Особенности режима стоячих волн рассмотрим при холостом ходе линии, т. е. для случая, когда линия разомкнута на конце ( , ).

В выражениях (1.82), (1.84) и (1.85) координата y отсчитывается от конца линии, поэтому для определения мгновенных значений волн напряжения в конце линии полагаем y = 0. Тогда на основе уравнений (1.85) получаем:

(1.86)

В режиме холостого хода коэффициент отражения ρ равен единице. Следовательно, выполняется равенство u_2о = u_2п. При этом значения амплитуды волн одинаковы. Поскольку , из системы (1.84) следует:

(1.87)

Приравнивая далее u_2п и u_2о в форме (1.86), приходим к условию Ψ _о = Ψ _п и в конечном итоге записываем напряжение в произвольной точке линии как

(1.88)

где

Полученное выражение (1.88) описывает стоячую волну напряжения как результат наложения одинаковых встречно перемещающихся гармонических волн. В конце линии, т. е. при y = 0, произведение β y обращается в нуль, составляющие правой части складываются и

(1.89)

т. е. напряжение в конце линии изменяется с удвоенной амплитудой во времени. Такие же значения амплитуды будут иметь место в точках линии, удаленных от ее конца на расстояния, кратные половине длины волны, т. е. при поскольку этим значениям y соответствуют значения кратные π или 180º. Наоборот, в точках линии, находящихся на расстояниях от конца линии синусоидальные функции в выражении (1.88) имеют одинаковые значения, но разные знаки, поэтому результирующее напряжение равно нулю. Говорят, что в этих точках располагаются узлы напряжения.

Аналогичная картина имеет место и для тока с той разницей, что в конце линии ток равен нулю, а узлы его смещены относительно узлов напряжения на четверть длины волны.

Одна из величин (напряжение или ток) в узлах равна нулю. Следовательно, и мощность в них также равна нулю. Узлы не перемещаются по координате x, поэтому в режиме стоячих волн отсутствует передача энергии вдоль линии. Однако это не означает, что линия не переносит энергию. Происходит непрерывный обмен энергией между электрическим и магнитным полями на участках линии между узлами напряжения и тока. Когда напряжение в данной точке максимально, ток равен нулю и вся энергия концентрируется в электрическом поле линии. Через четверть длины волны ток линии становится максимальным, а напряжение – равным нулю. В этот момент вся энергия линии сосредоточена в ее магнитном поле.

Процесс периодического изменения энергетического состояния линии во времени заключен между указанными предельными состояниями.

Анализ волновых процессов в режиме короткого замыкания проводится аналогично. Разница лишь в том, что в конце линии с удвоенной амплитудой по отношению к прямой волне изменяется ток, а напряжение равно нулю. Узлы напряжения находятся в точках а узлы тока – (k = 1, 3, 5, …).

Входное сопротивление линии без потерь можно определить с использованием уравнений (1.82) при y = ℓ (x = 0):

. (1.90)

Особый интерес представляет расчет входного сопротивления линии без потерь в режиме короткого замыкания, которое можно выразить из формулы (1.90), полагая :

. (1.91)

В полученном выражении (1.91) согласно формуле (1.76) Z_в действительная величина, поэтому Z_{вх к.з} является чисто реактивным (индуктивным) сопротивлением, которое, как видно из уравнения (1.91), изменяется по закону тангенса в зависимости от длины линии ℓ (рис. 1.13). Это значит, что у линий разной длины Z_{вх к.з} может принимать значения от нуля до бесконечности. Предположим, например, что длина линии равна четверти длины волны – 0, 25λ . При этой длине аргумент тангенса в выражении (1.91) следовательно, величина Z_{вх к.з} равна бесконечности. При этом на входных зажимах линия воспринимается как параллельный резонансный контур. Если длина линии равна половине волны 0, 5λ , то входное сопротивление обращается в нуль и линия воспринимается как последовательный резонансный контур.

Сопротивление реальной линии с потерями не может принимать нулевых и бесконечных значений, но при сопротивление короткозамкнутой линии максимально. Чем меньше потери в линии, тем больше входное сопротивление четвертьволновой короткозамкнутой линии. При высоких частотах такая линия используется в радиотехнике как изолятор.

Рис 1.13. Зависимость z_{вх к.з} от длины линии ℓ

Порядок расчета.

Волновое сопротивление определяется по уравнению (1.12):

; Ом.

Коэффициент распространения – по выражению (1.6):

;

Действительная часть представляет собой коэффициент затухания

Нп/км,

а мнимая часть – коэффициент фазы

рад/км.

Коэффициент отражения – по формуле (1.53):

; .

Входное сопротивление линии - по формуле (1.52):

;

При расчете необходимо учесть то, что показатель степени экспоненты измеряется в радианах, что составляет 54, 9º.

Входной ток линии

А.

Далее расчет производится с использованием соотношений (1.22), и вычисления осуществляются отдельно для прямых и обратных волн.

Прямая волна напряжения в конце линии

Обратная волна напряжения в конце линии

Напряжение в конце линии

Прямая волна тока в конце линии

А;

Обратная волна тока в конце линии

А;

Ток в конце линии согласно выражениям (1.16), (1.28) определяется так:

А;

Мощность в конце линии (мощность нагрузки)

В× А.

Поскольку нагрузка активная (Z_н= r_н), то мощность в конце линии не содержит реактивной составляющей:

Вт;

Мощность на входе линии

В× А,

откуда

Собственное затухание линии

Изменение фазы прямой или обратной волны напряжения и тока на дли-
не линии

Отношение полных мощностей

т. е. полная мощность в конце рассматриваемой линии длиной 10 км в 2, 04 раза меньше входной при частоте 800 Гц.

Фазовая скорость определяется по формуле (1.32):

км/с.

Длина волны – по выражению (1.33):

км.

2.1.2. Условие задачи. По данным задачи 2.1.1 определить волновые составляющие мощности в конце линии.

Порядок расчета.

Мощность в конце линии (мощность нагрузки)

Вт.

Мощность, переносимая прямыми волнами,

В× А.

Мощность, переносимая обратными волнами,

В× А.

Смешанная мощность в составе формулы (1.59)

Сумма мощностей в формуле (1.59), дающая

Вт

практически совпадает со значением мощности, полученным ранее.

Порядок расчета.

Так как линия нагружена на сопротивление, равное волновому, то выполняется условие согласования (1.63) и, следовательно, обратные волны отсутствуют. Поэтому используются соотношения (1.66):

Ток в конце линии

А;

Напряжение в начале линии

Ток в начале линии

Активная мощность, расходуемая в нагрузке,

Вт.

Активная мощность на входе линии

Вт.

Коэффициент полезного действия линии определяется по формуле (1.70):

или как отношение мощностей:

Линия без потерь

2.3.1. Условие задачи. Энергия на частоте f = 10⁸ Гц передается от генератора к излучающей системе при помощи линии (фидера). Параметры линии: L₀ = 1, 57·10^–6 Гн/м; С₀ = 7, 1·10^–12 Ф/м. Потери в фидере не учитываются, следовательно, можно принять r₀ = 0, g₀ = 0. Определить входное сопротивление короткозамкнутых отрезков подобной линии длиной 1/8 и 1/5 длины волны.

Порядок расчета.

Волновое сопротивление линии без потерь определяется по формуле (1.76):

Коэффициент фазы – по формуле (1.78):

рад/м.

Длина волны

м.

По условию задачи входное сопротивление линии определяется при условии и .

В режиме короткого замыкания входное сопротивление линии без потерь определяется формулой (1.91):

Подстановка значений приводит к следующим результатам:

2.3.2. Условие задачи. Даны параметры однородной линии без потерь на частоте f = 800 Гц: L₀= 7·10^–3Гн/км; С₀= 6, 8·10^–9 Ф/км.

Определить вторичные параметры линии, напряжение и ток , мощности Р₁ и Р₂ при чисто активной нагрузке Z_н= 500 Ом. Построить график распределения действующего значения напряжения при условии , ℓ = 120 км.

Порядок расчета.

Параметры линии без потерь:

волновое сопротивление

коэффициент распространения

фазовая скорость

длина волны

ток в нагрузке

Напряжение и ток в начале линии определяются по уравнениям (1.82):

Аргумент тригонометрических функций

Напряжение и ток в начале линии вычисляются так:

Мощности в начале и в конце линии

Потери мощности в линии отсутствуют,

Распределение действующего значения напряжения вдоль линии находим сложением прямой и обратной волн напряжения:

В точках и а следовательно

В точке

График распределения действующего значения U(y) вдоль линии представлен на рис. 2.1.

Рис. 2.1. График распределения действующего значения напряжения

вдоль линии

Порядок расчета.

Волновое сопротивление

Коэффициент затухания

Коэффициент отражения вычисляется по выражению (1.100):

Входное сопротивление линии – по формуле (1.102):

;

Входной ток линии

;

Напряжение в конце линии – по выражению (1.95):

;

Ток нагрузки

Мощность, отдаваемая источником,

Мощность, потребляемая нагрузкой,

Потери мощности в линии

Коэффициент полезного действия линии

2.5. Определение параметров линии по данным режимов
холостого хода и короткого замыкания

Условие задачи. Двухпроводная воздушная линия связи длиной ℓ = = 200 км характеризуется параметрами

измеренными при угловой частоте ω = 5000 рад/с. Определить первичные и вторичные параметры линии r₀, L₀, C₀, g₀, Z_в и γ .

Порядок расчета.

Волновое сопротивление рассчитывается по выражению (1.107):

Значение функции th γ ℓ – по формуле (1.110):

откуда согласно выражению (1.111)

Модуль и аргумент функции e^{2γ ℓ} в соответствии с выражением (1.114) рассчитывается так:

Коэффициенты затухания и фазы – по формулам (1.118):

Полученное значение β содержит неопределенную величину 2nπ . Для определения значения n используем следующий подход.

Предельное значение длины волны при заданной частоте определяются по формуле:

где – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме или воздухе. Скорость распространения электромагнитных процессов вдоль воздушных линий с близка к значению Указанные параметры, т. е. длину волны и фазовую скорость, будем использовать в качестве критериев при оценке значения n.