Ускорение в четырехмерной системе отсчета

.

Кинематические уравнения движения в четырехмерной системе отсчета (по известному а (t) можно найти v (t) и S (t)):

, .

Формулы преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую (преобразования Г.А. Лоренца):

а) обратные:

; у = у^'; z = z^'; ;

б) прямые:

; у = у^'; z = z^'; .

Следствия из преобразований Лоренца:

а) закон сложения скоростей (в частном случае, когда скорость u направлена вдоль оси OX):

;

б) сокращение продольных движущихся масштабов длин сокращения (Лоренца):

; ,

где ℓ ₀ – длина стержня в той системе отсчета, в которой он покоится;

ℓ – длина стержня в системе отсчета, движущейся относительно стержня;

в) замедление хода движущихся часов:

; ,

где τ ₀ = t₂^' – t₁^' – промежуток времени, прошедший между этими событиями, в подвижной системе К^';

τ = t₂ – t₁ – промежуток времени, прошедший между этими событиями, в неподвижной системе К.

Первый закон Ньютона в специальной теории относительности устанавливает существование в природе систем отсчета, сколь угодно близких к инерциальным системам отсчета. Такими системами отсчета являются те, в которых свободное тело не имеет по отношению к ним ускорения.

Зависимость массы от скорости

,

где m – масса движущегося тела;

m₀ – масса покоя.

Кинетическая масса

,

где m – релятивистская (полная) масса;

m₀ – масса покоя;

m_к – кинетическая масса.

Масса системы не равна сумме масс, составляющих ее тел:

,

где m – масса системы;

m_i – масса изолированных тел, составляющих систему;

W – энергия взаимодействия изолированных тел.

Импульс (вектор энергии-импульса) материальной точки

,

где m₀ – масса тела в той системе отсчета, по отношению к которой тело покоится (масса покоя);

v – скорость тела.

Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки) в специальной теории относительности:

.

Третий закон Ньютона в специальной теории относительности:

F _{μ , n}= –F _{n, μ} ,

где F _{μ , n} и F _{n, μ} – силы взаимодействия материальных точек в четырехмерной системе «пространство-время».

Внутренняя энергия тела пропорциональна массе покоя этого тела:

Е_вн = m₀× c².

Кинетическая энергия тела

.

Полная энергия тела складывается из внутренней энергии и кинетической энергии тела как целого:

,

где – релятивистская масса.

Энергия связи системы каких-либо частиц – работа, затраченная на разделение системы на составляющие ее частицы и удаление их друг от друга на такое расстояние, на котором их взаимодействием можно пренебречь:

,

где E_св – энергия связи;

å E_i – сумма энергий разделенных частиц системы;

E – энергия системы.

Сумма масс разделенных частиц больше массы системы на величину энергии связи, деленную на c²:

.

Дефект массы Dm – разность между суммой масс частиц и массой системы:

.

Закон взаимосвязи массы и энергии:

, E = mc².

Закон изменения импульса-энергии материальной точки:

.

Закон изменения энергии материальной точки:

.

Закон изменения кинетической энергии тела:

.

Соотношение, связывающее полную энергию и импульс релятивистской частицы (в векторной форме):

.

Связь между импульсом и полной энергией в скалярной форме:

.

Связь между импульсом и кинетической энергией:

.

Для частиц с нулевой массой покоя энергия пропорциональна импульсу:

E = c× p; p = E/c.

Кинетическая масса частиц, которые не обладают массой покоя, равна полной энергии:

.

Приложение 2

Основы молекулярной физики
и термодинамики. Основные понятия, определения и законы

Конденсированное состояние. Кинематика
и динамика жидкостей

Жидкость – агрегатное состояние вещества, промежуточное между твердым и газообразным состояниями.

Чистые жидкости по химическому составу – однокомпонентные жидкости.

Жидкие смеси (растворы) по химическому составу – двух- или многокомпонентные жидкости.

Нормальные (обычные) жидкости – однородные макроскопические и изотропные жидкости. При отсутствии внешних воздействий обладают только одной жидкой фазой.

Квантовые жидкости – жидкости, которые могут находиться в нормальной и одной или нескольких анизотропных фазах.

Простые жидкости – жидкости, состоящие из сферически симметричных молекул, между которыми действуют силы Ван-дер-Ваальса, не имеющие какого-либо преимущественного направления и обладающие наиболее простыми свойствами.

Ближний порядок – упорядоченное расположение по отношению к любой молекуле ближайших к ней соседей.

Зависимость между временем t одного колебания молекулы относительно данного положения и временем «оседлой» жизни t₀:

где U – «потенциальный барьер», численно равный разности энергий молекулы в двух возможных областях ее колебаний, разделяющий две возможные области колебаний молекулы;

Т – температура жидкости;

k – постоянная Больцмана.

Число молекул жидкости в некотором сферическом слое толщиной dr на расстоянии r от произвольно выбранной молекулы

,

где n₀ = N/V – число молекул в единице объема жидкости;

F(r) – радиальная функция распределения, которая определяет вероятность нахождения некоторой молекулы жидкости в какой-либо точке ее объема.

Вязкость – свойство жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Определяется их молекулярным составом и строением.

Основной закон вязкого течения (закон Ньютона):

,

где dv/dz – градиент скорости в направлении z;

S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг;

h – коэффициент динамической вязкости, который характеризует сопротивление жидкости смещению ее слоев.

Зависимость коэффициента вязкости жидкостей от температуры:

,

где U – энергия, необходимая для перехода молекулы жидкости из одного равновесного состояния в другое.

Кинематическая вязкость – отношение динамической вязкости к плотности жидкости:

n = h/r.

Текучесть жидкостей – свойство, обратное вязкости, обусловлено той свободой движения молекул в объеме, которая еще допускается силами сцепления между ними.

Коэффициент текучести (или текучесть)

j = 1/h.

Сжимаемость – способность жидкости изменять свой объем под действием всестороннего давления.

Коэффициент сжимаемости – выражает уменьшение единичного объема (или плотности) при увеличении давления на единицу:

,

где DV, Dρ – изменение первоначального объема и первоначальной плотности жидкости при изменении давления на Dp.

Уравнение состояния жидкости (с определенной степенью точности):

.

Сфера действия молекулярных сил – область, в которой расположены взаимодействующие молекулы, в центре которой находится рассматриваемая молекула (R ~ 10^{-9 м).}

Экспериментальный закон зависимости объема жидкости от температуры:

V_t = V₀(1 + at),

где a – коэффициент объемного расширения, который определяется соотношением

.

Связь коэффициентов сжимаемости и объемного расширения жидкостей:

.

Поверхностное натяжение – мера некомпенсированности межмолекулярных сил в поверхностном (межфазном) слое.

Работа dA по изменению поверхности жидкости на dS совершается за счет изменения потенциальной энергии поверхностного слоя (поверхностной энергии жидкости) dW_ps:

dA = –dW_ps = –s× dS,

где «минус» показывает, что увеличение поверхности жидкости сопровождается совершением работы;

s – коэффициент поверхностного натяжения, который характеризует свойства поверхности жидкости и показывает, какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости на единицу.

Работа по изменению поверхности жидкости, совершаемая внешними силами:

dA = –F× dx = –s× dS = –sℓ × dx,

где ℓ – длина контура, охватывающего поверхность жидкости;

dx – смещение границы поверхностного слоя;

F – сила поверхностного натяжения;

s – коэффициент поверхностного натяжения, который численно равен силе поверхностного натяжения, стремящейся изменить длину контура, охватывающего поверхность жидкости, на единицу.

Зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры:

,

где r = dQ/dS – количество тепла, затраченное на изменение поверхности пленки на единицу.

Полное молекулярное давление в поверхностном слое жидкости

p = p₀ ± Dp,

где p₀ – молекулярное давление жидкости с плоской поверхностью;

Dp – дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости;

знак «+» – соответствует выпуклой поверхности;

знак «–» – соответствует вогнутой поверхности.

Формула Лапласа для дополнительного давления (для капли, которая полностью заполнена жидкостью, или для пузырька внутри жидкости) в случае:

1) произвольной поверхности:

,

где R₁ и R₂ – радиусы кривизны поверхностного слоя жидкости;

2) сферической поверхности:

,

где R – радиус сферы;

3) цилиндрической поверхности:

,

где R – радиус цилиндрической поверхности.

Формула Лапласа для дополнительного давления (для пузырька, который не заполнен жидкостью, например мыльного) в случае:

1) сферической поверхности:

;

2) цилиндрической поверхности:

.

Условие равновесия капли на поверхности другой жидкости:

s₁₂ + s₂₃ = s₁₃,

где s₁₂ – коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и жидкостью, на которой она находится;

s₁₃ – коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью, на которой находится капля, и воздухом;

s₂₃ – коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом.

Условие равновесия капли на поверхности твердого тела:

s₁₂ + s₂₃× cosq = s₁₃,

где s₁₂ – коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и твердым телом;

s₁₃ – коэффициент поверхностного натяжения между твердым телом и воздухом;

s₂₃ – коэффициент поверхностного натяжения между жидкостью капли и воздухом;

q – краевой угол (угол между касательными к поверхности жидкости и твердого тела).

Условие смачивания (краевой угол острый):

s₁₂ + s₂₃× cosq £ s₁₃.

Условие абсолютного смачивания:

s₁₂ + s₂₃× cosq < s₁₃.

Условие несмачивания (краевой угол тупой):

s₁₂ ³ s₂₃× cosq + s₁₃.

Условие абсолютного несмачивания:

s₁₂ > s₂₃× cosq + s₁₃.

Капиллярные явления (капиллярность) – изменение высоты уровня жидкости в узких трубах (капиллярах) или зазорах между двумя стенками.

Условие капиллярности:

Dp = p,

где – дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности жидкости при капиллярности;

p = rgh – давление;

– радиус мениска;

r – радиус капилляра;

q – краевой угол.

Высота подъема (опускания) жидкости в капиллярах

.

Высота подъема (опускания) жидкости в узком зазоре между погруженными в жидкость параллельными пластинами

,

где d – расстояние между пластинами.

Давление внутри жидкости во всех точках, расположенных на одном уровне (при механическом равновесии, если жидкость находится в поле тяготения):

p = const.

Давление в жидкости на двух разных уровнях (при механическом равновесии; жидкость находится в поле тяготения) отличается на величину, равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равного единице:

p₂ = p₁ + rgh,

где p₁, p₂ – давления жидкости на соответствующих уровнях;

h – высота между слоями.

Закон Архимеда: «На тело, погруженное в жидкость (или газ), находящееся в механическом равновесии, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная по вертикали вверх и приложенная к центру масс вытесненного объема»:

.

Поток жидкости – совокупность частиц движущейся жидкости.

Линия тока жидкости – линия, касательная к которой совпадает с направлением скорости частицы жидкости в рассматриваемый момент времени и в данной точке пространства. Линии тока жидкости служат для графического отображения потока жидкости.

Трубка тока – часть жидкости, ограниченная линиями тока.

Установившееся (стационарное) течение жидкости – движение жидкости, при котором форма и расположение линий тока, а также значения скоростей частиц жидкости в каждой их точке не изменяются со временем.

Неустановившееся (нестационарное) течение жидкости – движение жидкости, при котором не выполняются условия стационарного движения.

Математическая форма записи теоремы (уравнения) о неразрывности (непрерывности струи) для несжимаемой жидкости:

Sv = const,

где S – площадь сечения трубки тока;

v – скорость жидкости.

Уравнение Бернулли для стационарно текущей идеальной жидкости (для жидкостей с малой вязкостью):

,

где r – плотность жидкости;

v – скорость течения жидкости;

h – высота, на которой находится некоторое сечение трубки тока;

p – давление жидкости на уровне этих сечений.

Закон изменение давления жидкости для двух сечений (с изменением высоты h сечений) при v₁ = v₂:

.

Закон изменение давления жидкости для горизонтального потока (h₁ = h₂):

,

где p – давление, не зависящее от скорости (статическое давление жидкости);

– давление, зависящее от скорости (динамическое давление), которое показывает, на какую величину изменяется статическое давление при остановке движущегося потока жидкости.

Полное давление потока жидкости – сумма статического и динамического давлений.

Монометрические трубки (трубки Пито) – приборы, с помощью которых измеряют статическое и полное давление жидкости.

Скорость течения вязкой жидкости в трубе

,

где p₁, p₂ – давления двух сечений трубы;

R – радиус трубы;

r – расстояние от центра трубы до рассматриваемой трубки тока;

h – коэффициент вязкости жидкости;

l – расстояние между сечениями трубы.

Формула Пуазейля для определения объема жидкости, прошедшего через сечения трубы:

.

Ламинарное (слоистое) течение жидкости – когда жидкость как бы разделяется на слои, скользящие относительно друг друга, не перемешиваясь. Ламинарное течение жидкости стационарно.

Турбулентное течение жидкости – когда происходит энергичное перемешивание жидкости. В этом случае скорость частиц в каждом месте изменяется хаотично, течение – нестационарное.

Число Рейнольдса определяет характер течения жидкости:

, ,

где r – плотность жидкости;

v – средняя по сечению скорость движения жидкости;

l – характерный для поперечного сечения размер;

h – динамическая вязкость;

n – кинематическая вязкость.

Основные понятия, определения и законы
молекулярной физики и термодинамики

Молекулярная физика – раздел физики, в котором изучаются физические свойства и строение вещества в различных агрегатных состояниях на основе их микроскопического (молекулярного) строения.

Молекулярно-кинетическая теория строения вещества – раздел молекулярной физики, в котором изучаются свойства тел на основе представлений об их молекулярном строении.

Статистическая физика – раздел молекулярной физики, в котором изучаются свойства и движения не отдельных молекул (частиц), а совокупности частиц, характеризующихся средними величинами.

Термодинамика – наука, в которой изучаются свойства физических систем вне связи с их микроскопическим строением.

Молекула – наименьшая часть вещества, обладающая его основными химическими свойствами и состоящая из атомов, соединенных между собой химическими связями.

Атом – наименьшая частица химического элемента (микрочастица), обладающая его свойствами. Атомы в разных сочетаниях входят в состав молекул разных веществ.

Относительная атомная масса – отношение массы данного атома к 1/12 массы изотопа углерода с массовым числом 12 (¹²С).

Относительная молекулярная масса – отношение массы данной молекулы к 1/12 массы атома ¹²С.

Моль – количество вещества, в котором содержится число частиц, равное числу атомов в 0, 012 кг изотопа углерода С¹².

Число Авогадро – число атомов или молекул в моле любого вещества: N_А = 6, 02× 10²³ моль^-1.

Молярная масса – масса вещества, взятого в количестве одного моля:

m = m₀× N_А.

Идеальный газ – теоретическая модель газа, в которой не учитывается взаимодействие его частиц (средняя кинетическая энергия частиц много больше энергии их взаимодействия). Размеры молекул идеального газа малы по сравнению с расстояниями между ними. Суммарный собственный объем молекул такого газа мал по сравнению с объемом сосуда. Силы взаимодействия между молекулами настолько малы, что движение молекул от столкновения до столкновения происходит по прямолинейным отрезкам. Число ежесекундных столкновений молекул велико.

Основные положения молекулярно-кинетической теории идеального газа:

1) газ состоит из мельчайших частиц – атомов или молекул, находящихся в непрерывном движении;

2) в любом, даже очень малом объёме, к которому применимы выводы молекулярно–кинетической теории, число молекул очень велико;

3) размеры молекул малы по сравнению с расстояниями между ними;

4) молекулы газа свободно движутся между двумя последовательными взаимодействиями друг с другом или со стенками сосуда, в котором он находится. Силы взаимодействия между молекулами, кроме моментов соударения, пренебрежимо малы. Соударения молекул происходят без потерь механической энергии, т.е. по закону абсолютно упругого взаимодействия;

5) при отсутствии внешних сил молекулы газа распределяются равномерно по всему объёму;

6) направления и значения скоростей молекул газа самые различные.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:

,

где – средняя квадратичная скорость.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов для давления:

, или ,

где n₀ – N^'/V – число молекул в единице объема;

– средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа;

k – постоянная Больцмана.

Закон Авогадро: «В одинаковых объемах при одинаковых температурах и давлениях содержатся одинаковые количества молекул».

Закон Дальтона: «Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений, т.е. тех давлений, которые имел бы каждый из входящих в смесь газов, если бы в объеме, занятом смесью, находился он один»:

.

Уравнение состояния идеальных газов для произвольной массы m (уравнение Менделева–Клапейрона):

,

где R – газовая постоянная, которая численно равна работе расширения одного моля газа при его нагревании на один градус в условиях постоянного давления;

T – абсолютная температура.

Степени свободы i – число независимых координат, необходимых для полного описания положения системы в пространстве. Все степени свободы равноправны.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: