Напряжение и деформированное состояние, свойства (характеристики) материала.

Напряжение и деформированное состояние, свойства (характеристики) материала.

Напряжённое состояние – совокупность напряжений во множестве площадок, проходящих через заданную точку тела, образуют напряж. состояние.

Деформированное состояние – совокупность линейной и угловой деформации во множестве площадок, проходящих через заданную точку тела.

Рассмотрим тело, на которое действует сис-ма сил. Рассмотрим в этом теле отрезок АВ:

L – длина до деформации;

А1В1 – отрезок после деформации;

L+∆ L – длина после деформации;

∆ L – абсолютное удлинение отрезка;

АА1 – вектор полного перемещения;

α – α ’ – угловая деформация.

Ε = ∆ L/L – относительная деформация (при Ε > =15%, то данный материал можно штамповать).

Вывод: основным видом расчёта на прочность явл-ся расчёт по напряжениям; а расчёт на жесткость ведётся по определению деформации.

Механич. св-ва материала:

- Прочность – способность не разрушаться под нагрузкой;

- Жёсткость – способность незначительно деформироваться под нагрузкой;

- Выносливость – способность долгое время выдерживать переменные нагрузки;

- Устойчивость – способность сохранять первоначальную форму упругого равновесия;

- Вязкость – способность воспринимать ударные нагрузки.

Характеристики материалов:

- Твёрдость;

- Хрупкость;

- Пластичность.

Допущения о свойствах материалов:

Однородные – в люб. точке материалы имеют одинак. физико-химич. св-ва;

Сплошная среда – кристаллич. строение и микроскопич. дефекты не учитываются;

Изотропны – механич. св-ва не зависят от направления нагружения;

Идеальная упругость – полностью восстанавливают форму и размеры после снятия нагрузки.

Метод сечения, виды внутренних силовых факторов.

Для выявления внутренних сил в сопротивлении материалов применяется метод сечения.

Суть метода: рассекаем тело плоскостью; мысленно отбрасываем наиболее нагруженную часть тела (1); действие отброшенной части тела на оставшейся части замещаем равнодействующими внутренних силовых факторов и приводим их в центр тяжести поперечного сечения. Поперечное сечение – это сечение, плоскость которого перпендикулярна оси тела. Главные векторы сил эквивалентны действию отброшенной части на оставшуюся часть. При этом оставшаяся часть тела нах-ся в равновесии. Ур-ние равновесия: .

Разложив главный вектор R и главный момент M на составляющие по осям, получим силы N, Qx, Qy, и моменты Mx, My, Mz, которые называются внутренними силовыми факторами. Шесть внутр.силовых факторов вместе с известными внеш.силами на оставшейся части тела образуют уравновешенную сис-му сил, для кот. можно составить 6 ур-ний равновесия.

N – нормальная (продольная) сила;

Qx, Qy – поперечные силы;

Mz – крутящий момент;

Mx, My – изгибающие моменты.

Растяжение. Основные понятия, допущения и зависимости.

Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N. Прямой брус, работающий на растяжение, наз-ся стержнем.

Согласно методу сечений рассечём растянутый стержень и отбросим его левую часть, то для уравновешивания внешней силы F (равнодействующая сис-ма сил крепления образца) достаточно в сечении приложить только один внутренний силовой фактор – нормальную силу N.

N=F – условие равновесия. Остальные внутренние силовые факторы в данном случае равны 0. При растяжении стержень нах-ся в напряжённом состоянии. Напряжение при растяжении σ =N/S, где S – площадь поперечного сечения. Нормальное напряжение направлено также как и нормальная сила.

Ряд допущений:

- по всей длине участка действ. внутр. сила;

- внутр. сила по попереч. сечению распределена равномерно;

- по всей длине участка l значение деформации ∆ l и Е постоянны.

Если в рез-те алгебраич-го сложения проекций внешних сил получилось, что N> 0, то нормальная сила направлена от сечения и стержень в этом сечении испытывает растяжение; иначе стержень испытывает сжатие.

Если стержень нагружен большим числом осевых сил направленных в противоположные стороны, то применяется правило знаков при определении нормальной силы: проекции внешних сил, направленных от сечения, положительны и, наоборот.

При переходе от одного сечения к другому нормальная сила изменяется, поэтому строят графики изменения значения нормальной силы N по длине бруса, кот. наз-ся эпюрами.

Растяжение, закон Гука. Основные понятия и зависимости, влияние на абсолютное удлинение стержня.

Растяжение – это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении растянутого тела действуют только продольные силы N.

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы. l – начальная длина, b – начальная ширина, ∆ l – абсолютное удлинение, ∆ b – абсолютное сужение.

Относительная продольная деформация Ε:

Ε =∆ l/l.

При растяжении тела происходит изменение его поперечного сечения, т.е. сужение. Линейная (поперечная) деформация:

Ε ₁=∆ b/b.

Данные деформации учитывают в точных расчётах.

μ =Ε 1/Ε – коэф-т относительной деформации, или коэф-т Пуассона, - хар-ка пластичности материала.

В пределах упругих деформаций между нормальным напряжением и продольной деформацией сущ-ет прямопропорциональная зависимость (Закон Гука): σ = Ε Ε, где Е – модуль упругости (модуль Юнга), хар-ет жёсткость материала, т.е. сопсобность сопротивляться деформациям, Па.

Так как σ =F/S, то получим зависимость между нагрузкой, размерами стержня и возникающей деформацией: F/S= Е ∆ l/l, откуда ∆ l= Fl/ Е S. Произведение Е S наз-ют жёсткостью сечения. Следовательно, абсолют. удлинение стержня прямо пропорционально вел-не продольной силы в сечении, длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.

Определение деформации стержня под нагрузкой и сравнение её с допускаемой наз-ют расчётом на жёсткость. А также проводят расчет на прочность стержня.

Изгиб. Основные понятия (допущения, чистый, поперечный). Виды опор.

Все элементы конструкции подвергаются изгибу, они все рассчитываются на изгиб. При этом используют расчетную схему конструкции (наиболее распространенная расчетная схема для множества конструкций - балка на двух опорах). Балка – брус, который воспринимает поперечные нагрузки и работает на изгиб.

Допущения при изгибе:

1. плоскость поперечного сечения балки до и после нагружения остается плоской, перпендикулярно.

2. перпендикулярно к оси тела.

3. верхние слои балки растягиваются, а нижние сжимаются. Во всех сечениях балки действуют нормальное напряжение, напряжение сжатия и растяжения.

4. есть слой в поперечном сечении, на котором нормальное напряжение = 0, линейные размеры этого слоя не изменяются.

5. пересечении плоскости в поперечном сечении с нейтральным слоем есть нейтральная линия – центральная ось поперечного сечения.

Чистый изгиб – когда в поперечных сечениях балки действует только изгибающий момент (частный случай).

Поперечный изгиб – когда в поперечных сечениях действует одновременно и изгибающий момент и поперечная сила (общий случай).

Виды опор:

1. шарнирно-неподвижная опора воспринимает как вертикальные, так и горизонтальные усилия (усилия под углом тоже).

2. шарнирно-подвижная опора (воспринимает только вертикальные нагрузки)

3. консольная опора – жестко замоноличенная опора

Изгиб. Правило Верещагина.

Изгиб. Основные понятия (допущения, чистый, поперечный). Виды опор.

Правило Верещагина – графоаналитический прием вычисления интегралов. Заключается в замене операций интегрирования перемножением площади эпюры моментов от внешней нагрузки SF на ординату у0 линейной эпюры моментов от единичной силы F0, расположенную под центром тяжести площади первой эпюры, т.е. интеграл Мора.

Интеграл от 0 до L MF M0dx = SF y0 или

Интеграл от 0 до L MFM0dx =∑ от i=1 до n SFi y0i.

Сдвиг. Основные понятия, напряжения, зависимости, закон парности. Расчет на срез.

Сдвиг – такой вид нагружения, когда на грань параллепипеда действует только касательное напряжение.

Рассмотрим действие двух сил: под действием этих сил происходит деформация. Под действием двух сил происходит разрез. Деформация перемещения на величину дельта. Срезу материла предшествует деформация сдвига.

h – расстояние между двумя силами,

гамма - угол сдвига.

треугольник bbc1, tg гамма = сигма/h приблизительно = гамма

tbc = tcd

Происходит срез заклепок.

Соединение заклепками широко используется в технике.

tср = F/S, t = F/S≤ [t] – условие прочности,

t = F/S≤ [t] = [сигма/2]

Косой изгиб

Косым изгибом называется вид нагружения, при котором плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных осей сечения.

Напряжения и перемещения при косом изгибе найдем, используя принцип независимости действия сил. Косой изгиб рассматривается при этом как одновременный изгиб в 2-х плоскостях zx и zy. Для этого изгибающий момент М_изг раскладывается на составляющие моменты осей х и у.

М_х=М_изгsin a, М_у=М_изг cos a

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения могут быть вычислены как алгебраическая сумма напряжений, возникающих от моментов M_x и M_y:

Сигма= М_изг((у/J_x)sin a + (x/J_y)cos a)

a - угол отклонения плоскости действия M от вертикали.

Если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор сигма, то концы векторов, как и при простом изгибе образуют плоскость. Уравнение нейтральной линии в сечении найдем, полагая сигма=0:

У=-х(J_x/J_y) ctg a

При косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента.

21.Изгиб и растяжение (сжатие)

На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами.

Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.

Рис.1 Совместное действие изгиба и сжатия.

Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.

Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.

Сжимающие напряжения от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений:

нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой х, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой

Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно

Прямоугольное сечение.

Прямоугольное сечение имеет две оси симметрии, а главные центральные оси Сx и Cy проходят через середины параллельных сторон.

Главный центральный момент инерции относительно оси x

Элементарную площадку dA в этом случае можно представить в виде полоски во всю ширину сечения и толщиной dy, значит dA=b*dy. Подставим под знак интеграла значение dA и проинтегрировав по всей площади, т.е. в пределах изменения ординаты y от –h/2 до +h/2, получим

Окончательно

Аналогично получим формулу главного центрального момента инерции прямоугольника относительно оси y:

39.Круглое сечение

Для круга главные центральные моменты инерции относительно осей x и y равны между собой.

Поэтому из равенства , получаем

или ,

где .

Подставим значение Jp и получим для круглого сечения

Примеры элементов конструкций, работающих на изгиб. Типы опор и определение опорных реакций.

Конструкции опор:

а) Шарнирно – неподвижная опора: Воспринимает как вертикальные, так и горизонтальные усилия (усилия под углом).

б) Шарнирно – подвижная опора – воспринимает только вертикальные нагрузки.

в) Консольная опора – жёстко замоналиченая консоль.

Реакции в опорах определяют из условия равновесия (уравнение статики).

Теории (гипотезы) прочности и их назначение. Понятие о эквивалентных напряжениях. Содержание и области применения теории прочности.

Теории предельных напряжений.Гипотезы прочности.

Задачи теории прочности:

Оценить прочность детали находящейся в сложном напряженном состоянии через хорошо известное простое напряженное состояние.

В каждой теории используются свои критерии расчета.

1) Теория наибольших нормальных напряжений.

Если в какой –либо точке тела, в каком –либо направление нормальное напряжение достигает МАХ значение- происходит разрушения.(простые конструкции, сложные материалы)

Галлелеу σ _мах< =[ σ ]

2) Теория наибольших линейных деформаций

Разрушение материалов рассматривают с точки зрения молекулярной теории. Происходит разрушение молекулярных сил, изменяется расстояние между молекулами.

Разрушение в каждой точке произойдет если критические деформации будут близки к предельным.

ε < = [ε ] σ ₁ - μ σ ₂ - μ σ ₃ < = [σ ] σ _экв< =[ σ ]

Эквивалентное напряжение – напряжение, которое необходимо создать в растянутом стержне, чтобы его простейшее состояние было равно опасному сложному состоянию напряженного тела.

(твердые материалы, расчет простых деталей)

3) Теория наибольших касательных напряжений

Пластические деформации, которые в какой –либо точке достигнут произойдет разрушение.

Условие прочности

τ _max < =[ τ ]

σ ₁ - σ ₃ < = [σ ]

Для плоско напряженного состояния получена зависимость

σ _экв= √ ( σ ² + 4 τ ²)< =[ σ ]

4) Энергетическая теория прочности

Согласно этой теории на разрушение материала затрачивается не вся потенциальная энергия, а только часть, идущая на формообразование тела.

U_ф< = [U_ф]

Для плосконапряженного состояния получена зависимость.

Используется при статических расчетах на прочность. Для пластичных материалов.

5) Теория Мора

Согласно этой теории единого критерия оценки прочности при различных напряженных состояниях нет. Разрушение материала зависит от величины и знака наибольшего и наименьшего главных напряжений.