Расчет на прочность при изгибе

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Большей частью, в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающими моментами возникают так же и поперечные силы, в этом случае изгиб называется поперечным.

При изгибе балки происходит искривление ее оси в плоскости действия внешней силы.

Y″ = 1/ρ = M_u/EJ_z

Y - перемещение сечения балки.

1/ρ – кривизна. E – модуль упругости 1 –го рода.

J_z – экваториальный момент инерции сечения балки относительно оси z.

Величина EJ_z называется жесткостью бруса при изгибе.

Исключая кривизну из предыдущей формулы получим выражение для напряжения:

σ = M_uy/J_z

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии

σ _max = M_uy _max/J_z

Отношение J_z/y_max называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через W_х :

W_х = J_z/y_max

Таким образом,

σ _max = M_u/ W_х

Эта формула является основной при расчете на прочность бруса при изгибе.

Для бруса прямоугольного сечения J_z = bh³/12

Для бруса круглого сечения J_z = π D⁴/64

 

Напряжение в брусе при поперечном изгибе

В случае поперечного изгиба в сечение бруса возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Касательные напряжения τ сопровождаются появлением угловых деформаций γ.

τ = G* γ

G – модуль упругости 2-го рода.

Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, получаются некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом.

При поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения бруса не остаются плоскими, они искривляются.

Однако на величине нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не скажутся.(Поперечная сила Q не меняется по длине бруса)

Формулы для чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба.

σ = M_uy/J_z

Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии

σ _max = M_uy _max/J_z

Отношение J_z/y_max называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через W_х : W_х = J_z/y_max

Таким образом,

σ _max = M_u/ W_х

Эта формула является основной при расчете на прочность бруса при поперечном изгибе.

Для бруса прямоугольного сечения J_z = bh³/12

Для бруса круглого сечения J_z = π D⁴/64

Формулы для чистого изгиба дают некоторую погрешность h/l по сравнению с единицей,

Где h – размер поперечного сечения в плоскости изгиба,

L - длина бруса

44. Аналитический метод определения перемещений в балке при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии. Вычисление прогибов и углов поворотов сечений.

Наиболее типичной схемой нагружения является изгиб балки, расположенной на двух опорах, под действием внешней поперечной сосредоточенной силы, лежащей в одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки.

При изгибе балки происходит искривление ее оси в плоскости действия внешней силы. Искривленная ось балки может описываться уравнением в дифференциальной форме, которое называется уравнением упругой линии балки и имеет общий вид:

± EJ (d²y/dx²) = M или ± EJ y″ = M

Где Е – модуль упругости первого рода,

Y - перемещение сечения балки,

J_z = bh³/12 - экваториальный момент инерции сечения балки относительно оси z.

М – изгибающий момент в сечении.

y' = dy/ dx = tg θ

где θ - угол поворота сечения балки при нагружении изгибающей нагрузкой.

Ввиду малости прогиба по сравнению с длинновыми размерами балки можно принять tg θ = θ

Уравнение прогибов сечений: Для первого участка:

EJY = - F(L-a)x₁³/6L + Fa(L-a)(2L-a)/6L;

Для второго участка

EJY = - F(L-a)x₂³/6L +F(x₂-a)³/6+ Fa(L-a)(2L-a)/6L;

Полученные зависимости позволяют определить прогибы и на консольном участке балки.

Преимущество аналитического метода- высокая точность расчетов, а недостаток – сложность и громоздкость.

Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения.

Общий случай нагружения бруса, когда в поперечных сечениях возникают нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты одновременно.

При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа.

Упругое тело является аккумулятором энергии.

Работа силы на упругом перемещении определяется половиной произведения наибольшего значения силы и перемещения Δ L.

U = ½ P Δ L

Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента ½ был бы получен какой –то другой коэффициент. В частности при постоянной силе он равен единице.

Исключая из полученного для U выражения Δ L, найдем

U = P²l/2EF;

Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении dθ двух сечений.

dU = ½ M dθ

dθ = dz/ρ = Mdz/EJ_x

Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам dz. Для элементарного участка d U = N² dz /2EF, а для всего стержня

U = ^L₀∫ N² dz /2EF.

Энергетическое соотношение широко используется при определении перемещения в сложных упругих системах.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: