Часть 1. Основы статистической динамики судовых конструкций

ПРИЛОЖЕНИЕ. Основные понятия теории вероятностей 124

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Внедрение вероятностных методов при выполнении расчетов судовых конструкций начато в середине прошлого столетия. Значительный вклад в развитие таких методов для исследований динамики, надежности и работоспособности механических систем внесли работы В.В. Екимова, В.В.Болотина и А.А. Курдюмова. Использованию вероятностных методов в исследовательской практике судостроения посвящены работы Г.В. Бойцова, А.И.Вознесенского, А.В. Герасимова, Ю.Н. Ипатовцева, В.В. Козлякова, Я.И. Короткина, Ю.Н. Нецветаева, А.И. Максимаджи, Н.Н. Рахманина, А.А. Свешникова, Г.А.Фирсова и многих других авторов.

Опыт первого десятилетия по применению вероятностных методов в отечественной практике изложен в известной монографии В.В. Екимова “Вероятностные методы в строительной механике корабля” (1966 г.), не потерявшей актуальности до сих пор. К этой теме неоднократно обращались авторы учебников и монографий по прочности и надежности корабля, однако в этих весьма полезных работах пока не достигнута столь высокая степень обобщения материала, как в труде В.В. Екимова. Вместе с тем за последние десятилетия накоплен обширный исследовательский материал в области использования подобных методов, содержащийся в многочисленных статьях и не повергнутый пока серьезному обобщению. В частности, имеются результаты новых исследований в следующих направлениях:

- разработка новых математических моделей для описания ветрового волнения;

- создание новых методов вероятностного анализа нелинейной качки и нелинейных колебаний судовых конструкций;

- разработка способов анализа волновой вибрации судового корпуса;

- разработка новых методов оценки показателей безотказности, ресурса, надежности и эксплуатационной безопасности;

- создание специальных приемов вероятностной оценки внешних нагрузок и обеспечения прочности судов, имеющих эксплуатационные ограничения по интенсивности волнения и маршрутам передвижения;

- контроль технического состояния конструкций (включая коррозионный износ) и учет его при обеспечении прочности и эксплуатационной безопасности судов;

- учет особенностей свойств материалов при выборе принципов проектирования конструкций и назначении практических приемов обеспечения их эксплуатационной безопасности.

Эти обстоятельства дают основание считать актуальным написание новой монографии, посвященной описанию и обобщению вероятностных методов. При этом авторы настоящей монографии осознавали необходимость охвата достаточно широкого круга полученных в последние десятилетия результатов исследований, так и доступного его изложения. При стремлении обеспечить такую доступность, авторы ориентировались на уровень подготовки инженеров и магистров, выпускаемых ВУЗАми с хорошей общетехнической подготовкой (что представляется целесообразным в условиях смены поколений, ожидаемой в ближайшем будущем в исследовательских организациях и конструкторских бюро судостроения). Исходя из таких соображений, во-первых, значительная часть книги посвящена общим вопросам использования вероятностных методов (включая их математическое обоснование), и, во-вторых, круг прикладных вопросов ограничен типами судов, строительство которых предусматривается в ближайшем будущем в больших количествах. При этом ввиду ограниченности объема книги пришлось отказаться от изложения проблем, относящихся к скоростным судам и средствам освоения океанского шельфа.

В связи с изложенным, к кругу читателей книги могут быть отнесены студенты старших курсов кораблестроительных ВУЗов, а также специалисты НИИ и конструкторских бюро, работающие над проблемами конструирования, обеспечения прочности и надежности судов.

Часть 1. Основы статистической динамики судовых конструкций

 

Спектральная плотность

 

При спектральном представлении стационарного СП и каноническом разложении корреляционной функции выше использовалось разложение функций в ряд Фурье. Этот ряд представляет собой разложение периодической функции по тригонометрическим функциям на некотором конечном временном интервале от —Т до +T. При наличии периодичности функции и конечности временного интервала число членов ряда конечно, а частоты гармоник образуют дискретный спектр. Это разложение можно обобщить и на случай непериодической функции. Приближенный метод разложения в ряд Фурье для непериодической функции состоит в применении предельного перехода при т.е. непериодическую функцию рассматривают как периодическую при неограниченно возрастающем периоде.

Представив (1.7) в формулу (1.6) запишем разложение корреляционной функции в ряд Фурье в виде

. (1.18)

Перейдем к пределу, устремляя Т к бесконечности и полагая . Величина есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны и . При предельном переходе положим, что при и , а , где — текущая частота, изменяющаяся непрерывно. Сумма в уравнении (1.18) перейдет в интеграл, тогда

(1.19)

Введем обозначение

(1.20)

Тогда (1.19) примет вид

(1.21)

Зависимости (1.20) и (1.21) часто называют формулами Винера-Хинчина. Во многих практических задачах корреляционная функция может быть найдена из данных эксперимента, а спектральная плотность процесса—по зависимости (1.20).

Функция , представимая в форме (1.19), имеет непрерывный спектр. Если ряд Фурье (1.18) дает возможность представить периодическую функцию в виде суммы бесконечного числа косинусоид с частотами, имеющими дискретные значения, то интеграл Фурье (1.21) представляет непериодическую функцию в виде суммы синусоид с непрерывной последовательностью частот. Спектр периодической функции можно изобразить графически (рис. 1.3.). Каждому дискретному значению частотырис. 1.2 (частоты гармоник ряда Фурье) соответствует определенное значение коэффициента ряда D_k. Спектр, показанный на рис. 1.8, называют дискретным или линейчатым.

Рис. 1.8. Линейчатый спектр СП.

 

Рассмотрим теперь спектр непериодической функции. В результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье (от конечного интервала времени T к бесконечному) интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, вертикальные линии (см. рис. 1.3) все больше сближаются. Амплитуда D_k каждой отдельной гармоники с частотой уменьшается и в пределе становится бесконечно малой.

Введем обозначение

D_k/Dw₁ =

Величина Dw₁ = D_k представляет собой ту часть общей дисперсии стационарного СП Х(t), которая приходится на k-ю гармонику. С увеличением периода разложения (T® ¥ ) ступенчатая (постоянная на любом частотном интервале ) функция не будет постоянно уменьшаться (как величины D_k и Dw₁), а будет неограниченно приближаться к предельной плавной кривой S_x(w), которая представляет собой плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра.

Таким образом,

. (1.22)

 

Поэтому функцию , определяемую как косинус-преобразование Фурье (1.20) корреляционной функции , называют спектральной плотностью (или просто спектром)процесса .

Спектральная плотность S_x(w) стационарного СП обладает следующими свойствами:

1°. Она является неотрицательной функцией частоты w:

S_x(w) ³ 0.

Это следует из выражения (1.22), так как предел отношения двух неотрицательных величин D_k ³ 0 и Dw > 0 не может быть отрицательным.

2°. Интеграл от спектральной плотности в пределах от 0 до ¥ равен дисперсии стационарного СП:

. (1.23)

Это следует из равенства (1.21):

.

Графически эти два свойства спектральной плотности отображены на рис. 1.9. Кривая S_x(w) спектральной плотности расположена не ниже оси абсцисс, а площадь, ограниченная этой кривой сверху, осью абсцисс снизу и осью ординат слева, равна дисперсии D_x (заштрихованная фигура на рис. 1.4).

Рис. 1.9. Спектральная плотность СП.

 

По аналогии с нормированной корреляционной функцией

r_x(t) = k_x(t)/k_x(0) = k_x(t)/D_x (1.24)

вводится в рассмотрение нормированная спектральная плотность стационарного СП:

s_x(w) = S_x(w)/D_x. (2.25)

Нормированная КФ и нормированная спектральная плотность связаны между собой преобразованием Фурье:

(1.26)

Определим понятие спектральной плотности стационарного СП в комплексной форме. Для этого перепишем каноническое разложение КФ (1.15) в виде

(1.27)

где .

Подставляя в (1.27) выражение для коэффициента , получим

(1.28)

Осуществим аналогичный описанному выше предельный переход, устремляя Т к бесконечности и полагая . При таком переходе положим, как и ранее, что при и , а .Сумма в уравнении (1.28) перейдет в интеграл, тогда

(1.29)

где (1.30)

Функция называется спектральной плотностью стационарного СП в комплексной форме. Ее называют также двусторонней спектральной плотностью. В отличие от обычной (односторонней) спектральной плотности , она определена не только в области положительных частот , но и в отрицательной области (рис. 1.10). Легко показать, что при положительных выполняется соотношение .

Рис. 1.10. Односторонняя ( ) и двухсторонняя ( ) спектральные плотности.

 

Двусторонние спектральные плотности (также как и разложения процесса X(t) и в комплексной форме) удобны при выполнении теоретических выкладок, но при решении прикладных задач, как правило, эффективнее применять односторонние спектры.

Двусторонняя спектральная плотность стационарного СП обладает тремя свойствами: 1) при любых (положительных и отрицательных) значениях ; 2) (четная функция); 3) интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии СП

.

Формулы Винера-Хинчина (1.29) и (1.30), а также их аналоги (1.21) и (1.20) являются важнейшими в спектральной теории.

 

 

Группы волн

При всей кажущейся хаотичности и неупорядоченности последовательности сменяющих друг друга волн в ней существует определенная закономерность. Коэффициент корреляции между высотами соседних волн колеблется от 0, 6 до 0, 3 [22] в зависимости от типа и интенсивности волнения; для волн, отделенных друг от друга одной волной, коэффициент корреляции составляет 0, 3—0, 1, а двумя волнами—0, 2—0, 05 [22]. Помимо статистической закономерности, выражающейся в коррелированности высот соседних волн, имеются также определенные топологические и структурные закономерности нерегулярного волнения.

В ряду нескольких волн, постепенно нарастающих по высоте, проходит особенно высокая волна, после которой следуют волны уменьшающейся высоты. Через некоторое время аналогичная картина повторяется, т. е. волны проходят группами. Группы волн—одна из характерных черт волнения, проявляющаяся в циклической смене последовательностей волн, состоящих из достаточно высокой волны, которой предшествуют и за которой следуют волны меньшей высоты (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Параметры волнового пакета.

До настоящего времени не существует общепринятого определения понятия группы волн, хотя с существованием групповой структуры приходится считаться при расчетах волновых воздействий на суда и сооружения.

Исследование групповой структуры по волнограммам (и по волновым профилям) представляет интерес прежде всего при анализе тех процессов силовых воздействий на объекты (на суда, плавучие и стационарные буровые установки), амплитуды которых нелинейно связаны с амплитудами волн. В практике судостроительных расчетов группы волн рассматриваются как последовательность подряд идущих волн, в которой наибольшая высота превышает среднюю высоту , рассчитанную по всей последовательности волн, а слева и справа от располагаются волны с меньшими высотами; наименьшие волны в такой последовательности, имеющие высоту менее , являются границей групп.

Результаты вычисления среднего числа волн в группе по записям ветровых волн показали, что независимо от интенсивности волнения (для различных волнограмм изменялось от 0, 2 до 4, 5 м) группа в среднем состоит из 5—6 волн. Однако число волн в конкретной группе зависит от высоты наибольшей волны в ней. Чем больше высота волн, тем больше число волн в группе. Так, если в штормовом волнении высота наибольшей волны в группе равна среднему значению всех волн в выборке, то =5, если , то =6 и т. д.

Для аппроксимации функции распределения числа волн M в группе учтем, что это число ограничено снизу и не может быть меньше 2 (если две соседние группы имеют по три волны, то одна—общая для обеих групп, может принадлежать только одной группе, а другая будет содержать две волны). Усеченное нормальное распределение с параметрами =5, и точкой усечения достаточно хорошо описывает натурные данные (рис. 2.14). Из рис. 2.14 следует, что группы с составляют около 10%, а группы с встречаются в 0, 5% случаев. Однако вследствие зависимости M от в таких группах наиболее вероятны высокие волны. Обеспеченность числа волн в группе при усеченном «слева» нормальном законе, по определению, записывается в виде:

. (2.37)

где — интеграл Лапласа. Выражение (3.37) справедливо для дискретной последовательности целых т =2, 3, 4...

 

Рис. 2.14. Функция распределения числа волн в группах для штормового волнения.

1 — аппроксимация нормальным законам; 2 — натурные данные

Изучение вероятностных закономерностей, которым подчиняются сочетания волн, представляющих группы, особенно вблизи наибольшей волны в группе, представляет большой практический интерес при оценке предельных нагрузок на суда и сооружения. Помимо числа волн в группе интересно изучение высот и периодов группы, которые равны соответственно вертикальному расстоянию между вершинами наибольшей и наименьшей волны в группе и временному интервалу между прохождением группы волн. Эмпирические распределения и описываются распределением Вейбулла-Гнеденко (см. п. 1.3). Обозначая через и средние значения этих величин, функции распределения и можно записать в виде

; . (2.38)

Элементы группы волн и —линейно зависимые случайные величины [22]. В табл. 2.2 приводятся для ветровых волн средние периоды волнения Т_u, и при различных средних значениях высот волнения , рассчитанных по натурным данным.

Таблица 2.2. Средние значения и при различных .

, м	0, 5	1, 0	2, 0	3, 0	4, 0
Тu, с	3, 4	4, 8	6, 7	8, 4	9, 6
, м	0, 5	1, 0	2, 0	3, 0	4, 0
, с

Средние значения высот примерно равны средним значениям высот волнения ; между средним периодом волнения Т_u и их групп имеется зависимость, близкая к линейной

. (2.39)

Наибольшие в группе высоты волн являются подмножеством последовательности всех высот волн, которые распределены по закону Рэлея, поэтому распределение Р( ) должно подчиняться этому же закону, усеченному на квантили, соответствующей . При решении многих прикладных задач рассматриваются не все группы, а только те, в которых в раз превышает . Тогда вероятность того, что (обеспеченность) имеет вид распределения Рэлея, усеченного на квантили

(2.40)

Периоды максимальных волн в группах являются подмножеством всех периодов, определенных из условия . Поэтому распределение периодов максимальных волн в группе должно подчиняться условному распределению периодов для различных высот. Значения параметров распределений могут быть найдены с учетом формы спектральной плотности волнения.

Результаты анализа высот и периодов волн в группе, непосредственно предшествующих волне с наибольшей высотой и следующих за , достаточно подробно изложены в работе [22]. Распределение величин допустимо считать нормальным. Отметим, что

(2.41)

(2.42)

(2.43)

Временной интервал между прохождением групп с высотами будем характеризовать статистикой . Вид закона, аппроксимирующего распределение , следует из теории выбросов случайных процессов, где показано, что для больших по сравнению со временем корреляции промежутков времени распределение экспоненциально

F(t) = exp(- / ). (2.44)

Из рис. 2.15 следует, что чем слабее волнение, тем при заданном больше величина .

Рис. 2.15. Зависимость среднего временного интервала между группами от средней высоты волн и уровня :

1 — 1, 43 (для обеспеченности 20%); 2 — 1, 95 (для обеспеченности 5%); 3— 2, 11 (для обеспеченности 3%); 4 — натурные данные.

Рассмотренные особенности структуры группы волн, статистической изменчивости и взаимозависимости ее элементов представляют большой практический интерес. Удобство приведенных выше характеристик заключается также в том, что, зная высоту волны трехпроцентной обеспеченности (или среднюю высоту волн) и средний период волн, можно для стационарного режима волнения определить практически все приведенные выше характеристики группы волн.

 

Метод моментов.

При использовании этого метода находят начальные моменты s-го порядка энергетической характеристики как математическое ожидание s-й степени этой случайной величины

. (4.31)

где .

Обычно аналитический вид выражения неизвестен. Из численного решения системы уравнений (4.1) находят лишь величины , вычисленные при определенных значениях случайных параметров (например, при значениях , называемых узлами интерполяции). Приближенные значения функции в произвольных точках будем определять с помощью интерполяционного полинома Лагранжа

, (4.32)

где (4.33)

Подставив выражение (4.32) в равенство (4.31) и меняя прядок интегрирования и суммирования, получим

где - величины, называемые числами Кристоффеля.

Таким образом, для вычисления математического ожидания в соответствии с формулой (4.31) можно использовать приближенное соотношение

(4.34)

Точность приближенной формулы (6.6) определяется рациональным выбором узлов интерполирования .

Применение описанного выше интерполяционного метода определения моментов теоретически обосновывается на основе теорем, доказательство которых приведено в работе [88]. Мы же здесь ограничимся формулировками этих теорем.

Теорема 1. Если функция , являющаяся решением системы дифференциальных уравнений (4.1), непрерывна по аргументам за исключением конечного числа точек, где имеются разрывы первого рода, то существует полином относительно , приближающий равномерно в области Î [a, b] эту функцию с любой наперед заданной точностью за исключением сколь угодно малых окрестностей точек разрыва непрерывности.

Теорема 2. Для того чтобы интерполяционный полином (4.32) сходился слабо в среднем для всякой непрерывной при всех Î [a, b] функции , достаточно, чтобы узлы интерполирования были выбраны так, чтобы числа Кристоффеля были неотрицательны.

Теорема 3. Если в качестве узлов интерполирования выбрать корни ортогональных полиномов по весу, равному - плотности распределения случайной величины , то при использовании n узлов интерполирования интерполяционный метод дает точные значения в классе многочленов всех степеней до степени включительно.

Теорема 4. Для каждой плотности распределения вероятностей, являющейся весовой функцией, существует единственная система ортогональных многочленов.

Теорема 5. Многочлен H_n(u) степени n, ортогональный относительно плотности распределения вероятностей , имеет внутри промежутка [a, b] значений, принимаемых случайной величиной , n вещественных корней (узлов интерполирования). Причем числа Кристоффеля, вычисленные для случая, когда в качестве узлов интерполирования выбраны корни ортогональных многочленов, положительны.

Для некоторых распределений случайных величин (равномерного, экспоненциального, нормального и других) в технической литературе приводятся оптимальные узлы интерполирования и соответствующие им числа Кристоффеля [83, 84, 88]. Для других законов распределения случайных величин узлы интерполирования могут быть вычислены по известным значениям узловых точек для какого-нибудь из указанных выше стандартных распределений, если предварительно установлена функциональная связь между случайными величинами вида

приводящее рассматриваемое распределение вероятностей случайной величины V к распределению стандартной величины .

Функция определяется из уравнения

,

где - интегральный закон распределения вероятностей случайной величины V; - интегральный закон распределения случайной величины , для которой известны узлы типа Чебышева.

Например, если стандартная величина имеет показательный закон распределения, для которого

то для отыскания функциональной связи величины со случайной величиной V, распределенной по закону Рэлея

получим уравнение

из которого следует, что

(4.35)

или

(4.36)

Найденное преобразование (4.36) позволяет осуществить переход от закона Рэлея к стандартной форме показательного закона. Таким образом, пересчет узловых точек осуществляется по формуле (4.36), а числа Кристоффеля принимаются при этом одинаковыми.

Найденные таким способом оценки нескольких моментов приравниваются теоретическим значениям моментов, соответствующим некоторому закону распределения вероятностей величины энергетической характеристики , используемому для аппроксимации распределения. Получаемые при этом равенства рассматривают как систему уравнений для определения неизвестных параметров распределения . Например, при использовании аппроксимации плотности распределения законом Вейбулла-Гнеденко

(4.37)

эта система уравнений для определения параметров T₀ и g имеет вид

где - гамма-функция.

 

Располагая известным законом распределения, можно определить плотность распределения амплитуд нелинейных колебаний A_y, используя правило преобразования плотности вероятности случайных величин, связанных функциональной зависимостью . Если плотность распределения случайной величины задана в форме (4.37), то плотность распределения вероятностей амплитуд колебаний принимает вид:

Таким образом, вычисления плотности вероятностей амплитуд выходного процесса системы, заданной уравнениями (4.1), с помощью метода моментов выполняют в следующей последовательности.

1. Определяют рациональную форму аппроксимации по Лагранжу спектральной плотности входного процесса (морского волнения), а также параметры математической модели входного процесса (морского волнения) в виде зависимости (4.27).

2. Для заданного порядка интерполяционных многочленов и найденных из таблицы узлов интерполирования для стандартных случайных величин (с пересчетом по формулам вида (4.35) или (4.36)) выбирают значения чисел Кристоффеля, а также значения случайных параметров , равных , при которых производится интегрирование уравнений (4.1), описывающих поведение рассматриваемой гидроупругой системы.

2. Производят численное интегрирование уравнений системы (4.1) с выбранными значениями случайных параметров, находят периодические решения системы (или хаотические решения, если они существуют в неустойчивых режимах колебаний) и определяют значение функции в узлах интерполяции.

3. Умножают полученный результат на соответствующие числа Кристоффеля и рассчитывают начальные моменты энергетической характеристики по формуле (4.34).

4. Составляют систему уравнений для определения параметров распределения случайной энергетической характеристики , приравнивая найденные моменты их теоретическим значениям, следующим из принятого для аппроксимации закона распределения энергетической характеристики . Оценивают параметры распределения случайной величины .

5. Находят выражение для плотности распределения вероятностей амплитуд A_y выходного процесса, пользуясь правилом преобразования распределений случайных величин, связанных функциональной зависимостью.

Отметим, что при увеличении числа K случайных параметров оценка распределений амплитуд выходного процесса связана с резким увеличением числа рассматриваемых реализаций входного процесса (нерегулярного волнения), и соответствующих этим реализациям решений системы дифференциальных уравнений (4.1). Происходит также большой рост числа разыскиваемых периодических решений системы при каждом варианте реализации входного процесса. В связи с таким увеличением объема вычислений необходимо ограничивать число K. Обычно его рациональное значение находится в диапазоне от 4 до 6.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Для достаточно глубокого усвоения вопросов, связанных с вероятностной оценкой параметров движения судов в условиях морского волнения, силовых воздействий на корпус судна, и оценкой прочности конструкций, необходимо знание основ теории вероятностей и теории случайных процессов. Теория вероятностей отражает закономерности, присущие случайным событиям (явлениям) массового характера. Имеется много монографий и учебных пособий, в которых подробно изложены основные понятия и методы теории вероятностей и теории случайных процессов [24, 31, 92]. Поэтому в данной главе приведены лишь те положения и результаты, относящиеся к теории вероятностей и теории случайных процессов, которые используются в современных подходах к оценке прочности и способствуют пониманию последующих глав книги.

Системы случайных величин

Функция распределения системы

В практических приложениях теории вероятностей приходится иметь дело с задачами, в которых результаты опыта характеризуются несколькими случайными величинами, образующими систему.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: