Вероятностные математические модели судна и судовых конструкций как динамических систем

 

При использовании вероятностных методов в строительной механике корабля важнейшее значение имеют так называемые выходные процессы, которые получаются в результате преобразования входного процесса волнения судном как динамической системой. Таким образом, судно и его конструкции, подверженные воздействию морского волнения, будем рассматривать как систему - совокупность взаимодействующих и функционально взаимосвязанных частей, называемых подсистемами или элементами. Выбор системы и образующих ее элементов достаточно произволен и зависит от специфики рассматриваемой задачи и особенностей судна.

В общем случае при решении проблем строительной механики корабля (прочности судовых конструкций) в состав рассматриваемой системы включают не только судно как жесткое тело с шестью степенями свободы, не только упругий корпус со связанными с ним массами как континуальную подсистему (с распределенными параметрами), но и окружающую жидкость, оказывающую существенное влияние на движение судна как жесткого целого и на вибрацию судовых конструкций. Эта жидкость не только изменяет инерционные свойства системы, но и является средой, в которой происходит рассеяние энергии при колебаниях системы. Иногда (особенно применительно к высокоскоростным судам) необходимо вводить в рассмотрение управляющую подсистему и учитывать управляющие воздействия на систему в целом (от судоводителя или от автоматической системы управления) как функцию кинематических параметров системы или как функцию времени. Изменение положения органов управления (рулей, закрылков, выдвижных устройств, устройств для срыва потока и образования каверн и т.д.) создает дополнительные силы и моменты, действующие на судно и изменяющие параметры его колебательного движения и курс. Описанную таким образом систему будем называть в дальнейшем системой общего вида.

На судно, движущееся в условиях морского волнения, воздействуют нерегулярные волны. В результате появляются случайные силы, вызывающие колебания судна и его конструкций. В отдельных случаях необходимо учитывать воздействие на подсистемы случайных изменений вектора скорости ветра, вызываемые турбулентностью (наличием множества беспорядочно движущихся вихрей) атмосферы (например, при оценке прочности гибких мачт, при изучении внешних сил, действующих на суда-экранопланы и т.д.).

Чтобы применить математические методы для изучения поведения рассматриваемой системы необходимо построить ее математическую модель. Такое построение – весьма ответственный шаг в проведении теоретического исследования и при построении практической схемы расчета. Для этого нужно прежде всего определить совокупность величин, которые могут служить количественными характеристиками функционирования системы, а затем установить соотношения между этими величинами.

Первым шагом к построению математической модели системы является четкая формулировка того, что система выдает на выходе (точнее, того, что принимается в качестве неизвестных параметров или функций, требующихся либо для анализа качества функционирования системы и, в частности, для оценки показателей ее безотказности и надежности, либо для оценки ее взаимодействия с другими системами или воздействия на них). Такие параметры и функции называются выходными процессами или выходными сигналами системы. Основные решения, принимаемые при создании модели, зависят от правильности выбора таких параметров и функций, а также от требований к точности их определения.

Следующим шагом построения математической модели системы является математическое описание того, что система получает на входе. При таком описании многие второстепенные стороны явления не принимаются во внимание (см. гл. 3). Производится идеализация процессов во внешней среде (морского волнения, атмосферной турбулентности), предопределяющих силовые воздействия на рассматриваемую систему. Такие идеализированные процессы, определяющие внешние воздействия на систему, в дальнейшем будем называть входными процессами или входными сигналами.

Кроме упомянутых выше двух множеств (входных и выходных сигналов), с помощью которых можно определить внешние воздействия на систему и то, что она дает на выходе в каждый момент времени, для построения математической модели системы часто приходится вводить еще некоторые вспомогательные величины, в число которых могут включаться параметры, характеризующие действия различных частей системы друг на друга (внутренние взаимодействия частей системы). Все эти величины, характеризующие состояние системы в каждый данный момент времени, обычно называются переменными состояния системы. В механических системах обычно в качестве переменных состояния служат фазовые координаты системы (обобщенные координаты и обобщенные скорости).

В дальнейшем мы будем называть входным сигналом (процессом) системы всю совокупность ее входных сигналов, выходным сигналом (процессом)— всю совокупность ее выходных сигналов и вектором состояния (фазовых координат)— всю совокупность переменных состояния системы.

Множество всех возможных входных сигналов системы будем называть ее пространством входных сигналов, множество всех возможных выходных сигналов системы—ее пространством выходных сигналов, а множество всех возможных векторов состояния системы—ее пространством состояний.

После определения входного и выходного сигналов и вектора состояния системы для получения ее математической модели остается установить соотношения между этими величинами. Эти соотношения могут быть детерминированными или содержать некоторые элементы неопределенности. В последнем случае обычно пользуются статистическим подходом, приписывая случайный характер и соответствующие распределения всем неопределенным величинам.

Таким образом, мы приходим к следующему определению: математической моделью системы называется совокупность четырех элементов: 1) пространства состояний, 2) пространства входных сигналов, 3) пространства выходных сигналов и 4) соотношений, связывающих входной и выходной сигналы и вектор состояния системы.

В действительности состояние любой системы, все внешние воздействия на нее, качество функционирования и все ее действия на другие системы невозможно охарактеризовать никаким обозримым и, тем более, конечным множеством величин. Рассматривая эту совокупность четырех элементов, мы уже имеем дело не с реальной системой, а с некоторым идеализированным представлением о ней. Соответственно, понятия входного и выходного сигналов, вектора состояния относятся не к самой системе, а к ее математической модели.

Попытаемся теперь кратко описать типы вероятностных математических моделей, используемых при решении проблем строительной механики корабля.

Как уже отмечалось, в качестве входных процессов в ней обычно фигурируют процессы волнения и ветра. Представление о математических моделях волнения дает гл. 3. Некоторые модификации этих моделей будут рассмотрены ниже. Различные модели ветра в нижних слоях атмосферы по форме их математического описания в основных чертах подобны математическим моделям волнения. Они отличаются параметрами и видом спектральной плотности для порывов ветра, но имеют некоторые общие свойства. При спектральном описании ветер представляется в виде суммы двух слагаемых: медленно изменяющегося градиентного ветра и произвольно направленного турбулентного ветра с быстрой сменой значения скорости и направления. Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости градиентного ветра, а также три составляющие турбулентного ветра обычно аппроксимируются усеченными гауссовскими законами.

Независимо от рассматриваемого вида входного процесса (морское волнение или ветер) пространством входных процессов, вообще говоря, является множество всех бесконечномерных векторных функций времени. Если математическая модель входа принимается в виде канонического разложения процесса вида (1.10) с конечным числом слагаемых N, то пространством входных процессов служит множество всех N–мерных векторных функций.

Конструкции судов обычно являются достаточно жесткими, поэтому перемещения судна как жесткого целого при качке влияют на упругие перемещения корпуса и его составных частей, обусловленные ударным взаимодействием судовых конструкций с жидкостью или резонансными явлениями. В то же время в большинстве решаемых задач обратное влияние практически отсутствует – упругие перемещения судовых конструкций пренебрежимо мало влияют на качку судна. Это обстоятельство позволяет оценивать прочность и надежность судовых конструкций в общем случае на основе анализа трех математических моделей (систем), соединенных таким образом, что выходной сигнал первой модели (кинематика качки) служит входным сигналом для второй модели, а выходной сигнал второй (обобщенные координаты упругих перемещений корпуса, либо условные нагрузки, соответствующие этим координатам) - входным сигналом для третьей модели, предназначенной для оценки прочности, ресурса и других показателей надежности конструкций.

Несмотря на имеющуюся в большинстве случаев принципиальную возможность раздельного использования первых двух моделей (для оценки качки и вибрации конструкций), их часто используют совместно, в составе одного программного комплекса в силу следующих причин:

- в относительно редких случаях утверждение об отсутствии влияния упругого деформирования на качку судна (на кинематические параметры движения судна как твердого целого) может быть и неверным (например, при движении экраноплана в режимах взлета-посадки упругие перемещения основного несущего элемента – крыла, периодически контактирующего с волнами, существенно влияют на гидродинамические силы, действующие на крыло, и на динамику вертикального движения объекта);

- в тех ситуациях, когда взаимодействие судна с волнами сопровождается большими изменениями смоченной поверхности судна и, соответственно, значительными колебаниями инерционных характеристик судовых конструкций, необходим учет переменности присоединенных масс жидкости во времени; поэтому возникает необходимость передачи большого объема информации о выходных процессах первой модели на вход второй модели.

Существуют также подходы к анализу прочности и надежности, когда все три названные математические модели используются совместно. В дальнейшем, если противное не оговорено особо, в главах 3 и 4 будем рассматривать использование при решении задач строительной механики корабля (при оценке внешних сил и анализе гидроупругости конструкций) объединенной математической модели с морским волнением на входе и процессами изменения обобщенных координат упругих перемещений судовых конструкций на выходе. Пространство выходных сигналов такой модели представляет собой множество всех непрерывных M-мерных функций времени (M - число этих обобщенных координат). Состояние системы в каждый момент времени определяется обобщеными координатами, характеризующими перемещения судна как жесткого целого, (параметрами качки), число которых , обобщенными координатами упругих перемещений, число которых примем равным , а также обобщенными скоростями. Таким образом, пространством состояний является множество векторных функций времени с мерностью 2( + ).

В задачах определения ресурса и безотказности конструкций в качестве выходных сигналов могут рассматриваться показатели надежности и безопасности конструкций, а также другие параметры.

При рассмотрении качки судна и гидроупругих колебаний конструкций, обусловленных стационарным режимом нерегулярного волнения, соотношения, связывающие входной и выходной сигналы, а также вектор состояния системы Z (t)обычно формируется в виде нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент вектора Z_i(t)(обобщенных координат и обобщенных скоростей механической системы или, иначе, фазовых координат)

 

(3.1)

 

где y_i - некоторая (в общем случае нелинейная) функция I фазовых координат; - некоторая функция, позволяющая отыскать выходной сигнал по известным значениям фазовых координат; X(t) – входной случайный процесс, представляемый (для определенности) в виде морского волнения; m – число выходов системы.

Способы построения систем типа (3.1) рассматриваются в других курсах (динамики судна, гидроупругости конструкций, прочности корабля, автоматического управления кораблем), поэтому здесь не обсуждаются. Отметим только, что для решения конкретной задачи для определенного судна можно построить много различных математических моделей и получить разные дифференциальные уравнения. В зависимости от степени детальности изучения поведения системы и количества учитываемых факторов одни модели будут проще, другие—сложнее. Чем больше факторов учитывает модель, тем она сложнее, тем полнее и в принципе точнее она описывает поведение системы. Однако точность сложной модели может оказаться (и на практике часто оказывается) иллюзорной. Из-за ограниченности доступной информации, в частности из-за неточности исходных данных по волнению, и вследствие несовершенства нелинейных моделей взаимодействия конструкций с жидкостью чрезмерно сложная модель может и не дать более точного результата по сравнению с более простой.

Математическая модель качки судна и гидроупругих колебаний конструкций может быть записана не только в виде дифференциальной системы (3.1), но и в виде системы интегро-дифференциальных уравнений (например, при использовании метода граничных интегральных уравнений для решения гидродинамической части задачи). В более общем виде вероятностная модель статистической динамики судовых конструкций, выражающая связь вектора входных процессов с вектором выходных процессов с помощью оператора , может быть записана в операторной форме (рис. 4.1)

.

Рис.3.1. Блок-схема динамической системы.

 

Сосредотачивая в дальнейшем внимание на способах вероятностного анализа таких дифференциальных и операторных уравнений, отметим, что принципиально возможна постановка следующих прямой и трех обратных задач статистической динамики судовых конструкций. Прямая задача (задача анализа или основная задача) состоит в определении вероятностных свойств выходных процессов по известным характеристикам входного процесса (внешнего воздействия) и известном математическом описании свойств системы.

Первая обратная задача (задача “измерения” входного процесса) заключается в определении характеристик внешних воздействий (внешних сил или волнения) по известным свойствам системы и реализациям ускорений в некоторых точках судна или по реализациям деформаций в некоторых точках конструкций. Эта задача решается при создании специальных приборов и систем для сбора информации о повторяемости нагрузок и режимов эксплуатации судна, а также при контроле за состоянием конструкций в процессе эксплуатации судна.

Вторая обратная задача (задача идентификации) состоит в определении конкретного вида оператора (задача полной идентификации или идентификации в широком смысле) или в оценке отдельных параметров этого оператора, общий вид которого известен (задача параметрической идентификации или идентификации в узком смысле) по известным реализациям синхронно зафиксированных входных и выходных процессов. При идентификации в широком смысле в распоряжении исследователя отсутствует информация о внутренних связях модели системы, позволяющая построить ее структурную схему, и структура модели и ее оператор разыскиваются на основании внешних характеристик системы (входного и выходного процессов). При наличии априорной информации о структуре математической модели и виде оператора более целесообразно использовать параметрическую идентификацию. Решение задач идентификации может осуществляться либо в исследовательских целях, либо при пересчете результатов мореходных испытаний судов, выполненных при некоторых параметрах волнения (формах его спектра) на другие условия волнения (с иными параметрами и формой спектра).

Третья задача (задача синтеза) – отыскание системы или оптимальных значений ее параметров по заданным критериям ее качества и при наличии ограничений на выбор ее параметров по условиям ее функционирования. Наиболее часто задача такого типа решается применительно к оценке закона управления исполнительными органами систем автоматического управления движением судов (в особенности, высокоскоростных) на волнении. Естественно, что такая вероятностная задача может решаться и в целях оптимального проектирования конструкций по критерию их минимальной массы или наибольшей прибыльности судна при наличии ограничений на показатели надежности и безопасности или другие характеристики, а также в целях оптимального выбора параметров виброгасителей (пассивных и активных), снижающих вибрацию конструкций.

В общем случае оператор является нелинейным и нестационарным. Оператор называется линейным, если при любых числах n и c_l выполняется равенство

,

т.е. если справедлив принцип суперпозиции. Отметим здесь, что в некоторых случаях систему типа (3.1) удается привести к линейному виду и получить при этом достоверный результат (например, при исследовании низкочастотных (волновых) нагрузок, действующих на водоизмещающие суда, в уравнении (3.1) можно приближенно считать линейными функцию , используемую при оценке параметров качки, и функцию , служащую в данном случае для определения внешних нагрузок на конструкции по известным параметрам качки и процессу волнения ). В связи с этим изложение вероятностных методов анализа случайных колебаний конструкций и действующих на них нагрузок начнем с изложения основ статистической динамики линейных систем.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: