Метод статистических испытаний

 

Наиболее простую вычислительную схему анализа вероятностных распределений выходных процессов нелинейных динамических систем имеют алгоритмы, построенные на основе метода статистических испытаний (Монте-Карло). Суть метода состоит в получении решений нелинейных уравнений (4.1), описывающих поведение динамической системы, путем их численного интегрирования по времени. Полученные таким образом данные анализируются с использованием методов математической статистики и, в результате, определяются статистические характеристики выходных процессов.

Расчет по методу Монте-Карло состоит из следующих этапов:

1. Определяется выборка u_1n, u_2n, ..., u_kn, ..., u_mn случайных чисел (входных случайных параметров), используемых в описании модели входного процесса (волнения) с помощью зависимостей типа (1.5), например, в виде (1.10). Каждый вариант выборки (с номером n) строится в соответствии с заданными законами распределения вероятностей входных случайных параметров.

Для этой операции используют специальные программы для ЭВМ, датчики случайных чисел, генераторы случайных функций [83, 84, 89].

2. Каждая из N выборок входных случайных параметров определяет реализацию входного процесса X(u_1n, u_2n, ..., u_kn, ..., u_mn, t). Для каждой такой реализации выполняется численное интегрирование системы уравнений (4.1) и находятся реализации установившихся выходных процессов, из которых определяются исследуемые выходные процессы Y_j. В результате получаем реализации процессов Y_1n, Y_2n, ..., Y_jn, ..., Y_mn (n = 1, 2, ..., N).

3. Оцениваются статистические характеристики выходного процесса Y_j (или, если это необходимо, функций от них ); в частности, находятся следующие параметры:

- математическое ожидание

; (4.2)

- моменты системы случайных величин

(4.3)

- вероятность того, что некоторая функция будет принимать значения в пределах b₁ £ x(A_j) < b₂

, (4.4)

где М - число реализаций, при которых выполняется неравенство в формуле (4.4).

Оценки статистических характеристик случайных процессов Y_j, выполняемые по формулам (4.2)-(4.4), сами являются случайными величинами.

Их изменчивость (а, следовательно, и точность оценок) существенно зависят от типа исследуемого параметра, от выбранной модели морского волнения и числа реализаций N (числа повторений численного эксперимента).

В связи со статистической изменчивостью оценок, получаемых методом Монте-Карло, важно знать, какое число реализаций N следует выбрать чтобы, например, оценка вероятности по формуле (4.4) отличалась от своего истинного значения не больше, чем на некоторую заданную величину (не выходила за доверительный интервал e) с заданной доверительной вероятностью.

Пусть истинное значение вероятности будет . Тогда справедливы следующие приближенные выражения [89]:

- для дисперсии оценки вероятности P

,

- для потребного числа реализаций N

. (4.5)

Здесь e - требуемая точность оценки вероятности, а в качестве меры точности принято отношение среднеквадратического отклонения оценки к ее среднему значению, т.е.

.

При относительно грубой оценке малых вероятностей P (например, в зоне экстремальных значений внешних сил) e можно принять равным единице. Тогда из формулы (4.5) следует, что для оценки экстремальных величин нагрузок на стационарных режимах волнения (вероятностных распределений в области малых обеспеченностей) требуемое число N построений численного (физического) эксперимента составляет величины порядка 10⁴. Учитывая огромные затраты машинного времени на численное интегрирование уравнений типа (4.1) для получения такого числа реализаций (или затраты труда на осуществление модельного эксперимента), следует признать, что классические схемы метода Монте-Карло мало пригодны для исследования экстремальных значений нагрузок. Вместе с тем этот метод позволяет относительно малыми затратами получать моментные и некоторые другие характеристики вероятностных распределений нагрузок на конструкции высокоскоростных судов. Однако в любом случае, как это следует из формулы (4.5), увеличение числа реализаций приводит к убыванию погрешности с небольшой скоростью порядка 1/ , поэтому применение метода статистических испытаний неизбежно ведет к чрезмерным затратам машинного времени.

Поиск более экономичных приемов решения нелинейных задач статистической динамики привел к появлению ряда других методов, родственных рассмотренному методу. Среди них наибольшую популярность имеют метод Б.Г.Доступова (метод эквивалентных возмущений) [2, 84] и интерполяционный метод В.И.Чернецкого [2, 88, 89]. В этих методах процедура получения выборок случайных чисел заменяется фиксированием их на некоторых рациональных уровнях, что делает эти методы с алгоритмической точки зрения более простыми, чем метод Монте-Карло. Однако область применения этих методов весьма ограничена.

 

4.3. Метод преобразования плотности распределения вероятностей

функций случайных величин

 

При вероятностном анализе решений такой системы, как показано в работах [2, 88, 89], целесообразно выполнять неканоническое разложение входного процесса. При таком разложении уравнение взволнованной поверхности жидкости в подвижной системе координат, связанной с движущимся со скоростью v судном, записывается в виде [36, 47]

 

 

где R - случайная величина, подчиняющаяся закону Релея с параметром, равным дисперсии нормального процесса x(t); W - случайная величина с ПРВ p_w, равной отношению спектральной плотности S_w процесса x(t) к дисперсии , g - ускорение свободного падения; j- курсовой угол движения судна по отношению к направлению распространения волн; - случайная фаза, распределенная равномерно на промежутке [0, 2p].

Случайные величины R, W и независимы.

При решении задач статистической динамики линейные и нелинейные системы (а также подсистемы и элементы) принято делить на инерционные и безынерционные [12-14, 69]. Если амплитуды и другие параметры выходного процесса зависят от частоты входного процесса, то такая система является инерционной. В противном случае систему можно считать безынерционной. Характерным признаком безынерционной системы является совпадение фаз возмущения (входного сигнала) и реакции системы (выходного сигнала), т.е. отсутствие задержки.

Обычно считают, что метод преобразования ПРВ функций случайных величин пригоден для исследования безынерционных систем [12, 69]. Однако представляется достаточно очевидным, что если система обладает инерционными свойствами, но входной случайный процесс реализуется на одной несущей частоте (частота фиксирована, а амплитуда обладает статистической изменчивостью, то использование рассматриваемого метода правомерно. Более того, при использовании специальных приемов, описанных ниже в параграфе 4.5, этот метод может применяться к инерционным системам, возбуждаемым входным процессом со статистически изменчивой частотой.

В данной главе излагается метод функционального преобразования случайных величин в традиционных вариантах, нашедших применение при решении проблемы внешних сил и оценке показателей надежности судовых конструкций [7, 36].

Предположим, что процесс волнения представлен в виде детерминированной функции нескольких случайных параметров в соответствии с формулами (1.10), (1.44), (1.50) или (1.62). Предпочтительным является такое представление, содержащее наименьшее число случайных величин (например, (1.50)). Подставим выбранное выражение для x(t) в уравнения колебаний судна и его конструкций вида (4.1). При фиксированных значениях случайных входных величин V_i (для модели (1.50) ) соответствующая нелинейная задача динамики судна (динамики корпусных конструкций) может быть решена числено, т.е. установлена траектория изображающей точки в фазовом пространстве. Совокупность траекторий для множества сочетаний фиксированных значений случайных величин V_i представляет ценную информацию для решения нелинейных задач статической динамики. Такие траектории дают возможность установить функциональную связь между входными случайными величинами V_i и характерными параметрами A_i, определяющими состояние судна и его конструкций (например, их предельную прочность) в определенный момент времени или эволюцию во времени характеристик качества конструкций (например, изменение меры усталостного повреждения, подрастание длины трещины и т.д.). Наиболее часто в задачах строительной механики корабля в качестве таких характерных параметров рассматриваются амплитуды внешних сил, амплитуды упругих колебаний конструкций, амплитуды приведенных напряжений (деформаций) в конструктивных элементах, длины трещин, продолжительность инициирования усталостной трещины или ее роста до критической длины и т.д.

 

4.3. Метод преобразования плотности распределения вероятностей функций случайных величин

 

Прежде чем приступить к изложению сути метода, сделаем несколько замечаний относительно области его использования. При решении задач статистической динамики линейные и нелинейные системы принято делить на инерционные и безынерционные (квазистатические). Если амплитуды и другие параметры выходного процесса зависят от частоты входного процесса, то такая система является инерционной. В противном случае систему можно считать безынерционной. Одним из признаков безынерционности является отсутствие сдвига фаз при преобразовании динамической системой входного сигнала.

Обычно считают, что метод преобразования ПРВ функций случайных величин пригоден лишь для исследования безынерционных систем, в связи с чем его часто называют квазистатическим методом [12-14, 69]. Однако представляется достаточно очевидным, что если система обладает инерционными свойствами, но входной случайный процесс реализуется на одной несущей частоте (частота фиксирована, а амплитуда обладает статистической изменчивостью, то использование рассматриваемого метода и в этом случае правомерно. Поэтому можно считать, что ошибки вычислений по этому методу возрастают с увеличением ширины спектра входного процесса, определяемой формулой (3.18). При малой ширине процесса волнения, которая может иметь место при очень большой его интенсивности, погрешность метода может быть приемлемой. Кроме того, метод можно использовать при анализе условных вероятностных распределений параметров динамической системы, определяемых при условии фиксирования частоты возмущения, например, при анализе амплитуд выходного процесса, вызванного воздействием на судно групп волн (см. раздел 2.4) с одинаковым периодом.

Предположим, что входной процесс ( например, процесс волнения ) представлен в виде функции нескольких случайных факторов . В частных случаях это может быть осуществлено в соответствии с математическими моделями (1.44), (1.50^`), (1.61) или (1.10). Например, при использовании выражения (1.50) . Возможно также использование представления волнения в виде групп волн. Предпочтительными являются такие представления, которые содержат наименьшее число случайных факторов (например, (1.50)). Подставим выбранное выражение для модели волнения , содержащее случайные величины (факторы), в нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4.1), описывающих поведение динамической системы.

При фиксированных значениях случайных входных величин соответствующая нелинейная задача динамики судна (динамики корпусных конструкций) может быть решена числено, т.е. установлена траектория изображающей точки в фазовом пространстве. Совокупность траекторий для множества сочетаний фиксированных значений случайных величин V_i представляет ценную информацию для решения нелинейных задач статической динамики. Такие траектории дают возможность установить функциональную связь между входными случайными величинами V_i и характерными параметрами A_i, определяющими состояние судна и его конструкций (например, их предельную прочность) в определенный момент времени или эволюцию во времени характеристик качества конструкций (например, изменение меры усталостного повреждения, подрастание длины трещины и т.д.). Наиболее часто в задачах строительной механики корабля в качестве таких характерных параметров рассматриваются амплитуды внешних сил, амплитуды упругих колебаний конструкций, амплитуды приведенных напряжений (деформаций) в конструктивных элементах, длины трещин, время инициирования усталостной трещины и т.д.

Допустим, что указанные функциональные соотношения между входными (V_i) и выходными (A_j) случайными параметрами установлены:

, (j = 1, 2, ..., ).

Эти уравнения могут быть разрешены относительно определенной группы аргументов (входных параметров), например, относительно A₁, A₂, ...,

V_j = y_j(A₁, A₂, ..., ; , ..., ), (j = 1, 2, ..., ).

Тогда ПРВ определяется соотношением

(4.6)

в котором - совместная ПРВ входных случайных параметров, выражающаяся в виде произведения ПРВ отдельных независимых параметров V_i, а через обозначен якобиан преобразования

.

В частном случае, при использовании модели волнения в форме (1.50) связь между входным параметром R и выходным параметром A устанавливается при фиксированном значении частоты, равном средней частоте волнения, и выражается наиболее просто:

A = j(R), R = y(A).

Здесь R - случайная величина с релееевским законом распределения (1.23) и параметром распределения D_x.

ПРВ величины А определяется по формуле

.

Использование метода может привести к значительным ошибкам при относительно большой ширине спектра процесса волнения, наблюдаемой при малых балльностях волнения и при смешанном волнении, а также при наличии зависимости коэффициентов системы (4.1) от времени.

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: