Уравнение момента, мощности и удельной работы для рабочего колеса турбомашины.

Проведем контрольную поверхность эквидистантно контуру рабочего колеса так, чтобы она плотно прилегала к нему, как это показано на рис. 2.9.

Рис.2.9

Для твердых частиц, составляющих конструкцию колеса момент количества движения можно записать в виде:

_тв DM_тв, (2.35)

где u = wr, а w - угловая скорость вращения колеса.

Суммируя момент количества движения всех частиц, находящихся в выделенном контуре, получим:

SDm +S SDM (2.36)

В правой части сумма моментов внешних сил состоит из момента, подведенного к валу ( М_z) на участке d-d и из момента сил трения на поверхности диска и бандажа рабочего колеса ( М _f), действующего против направления вращения. В эту сумму не входят силы внутреннего трения и давления, т.к. при сложении они взаимоуничтожаются.

Учитывая вышесказанное и обозначив S DM = М, запишем:

М = М _z - М _f (2.37)

Момент, приложенный к валу компрессора имеет положительный знак, т.е.

М = М _z – М_f (2.38)

в турбине, где момент отводится от вала - он отрицательный, т.е.

- M = - M _z + M _f, (2.39)

но поскольку в турбине M_z > M _f, (M _f » 10% M_z), суммарный момент внешних сил также всегда отрицательный.

Поскольку принято, что движение установившееся, w = const, то

S = 0 (2.40)

Получается, что момент внешних сил равен изменению момента количества движения частиц, находящихся в межлопаточных каналах рабочего колеса

S D M= SDm (2.41)

Момент количества движения изменяется:

1. потому, что частицы в мгновенной картине течения двигаются по определённой линии тока (конвективное изменение);

2. из-за неустановившегося течения в абсолютном движении, что отображается производной по времени момента количества движения.

Имея ввиду, что за некоторое время масса жидкости, находящаяся между поверхностями а-а^/ и b-b^/ изменит момент количества движения. Разность момента количества движения жидкости, проходящей через входное и выходное сечение рабочего колеса может быть записана в интегральной форме (с учётом осредненных по сечениям параметров) в виде:

М = С_u2 r₂ dG - С_u1 r₁dG, (2.42)

где dG = Dm₁/ dt = Dm₂ / dt при Dm₁= Dm₂ .

Переходя к суммарному расходу газа через колесо и имея ввиду осредненные по высоте лопаток значения С_u1 и С_u2, можно записать, в данном случае для компрессора, что момент количества движения частиц газа M = M_кт Его называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, сообщенным газу, а M_z=M_k моментом, подведенным к валу и затраченному на передачу газу теоретического момента с учетом потерь на трение газа о диск,

тогда

M _k = M_кт + M _f . (2.43)

М_кт = G(С_u2 r₂ - C_u1r₁) (2.44)

В турбине момент количества движения жидкости протекающей через выделенный контур уменьшается, тогда по выражению (2.37) величина М будет отрицательна. её называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ, отобранным от газа в ТУРБИНЕ, тогда - М = - М_u и выражение (2.42) в осредненных параметрах для турбины будет:

- M _u = G(C _u2r₂ - C_u1r₁), (2.45)

но т.к. в турбине С_u1 > C_u2 , то в скобке будет отрицательная величина.

Тогда минусы в обоих частях равенства сократятся, а для того, чтобы в скобках получившаяся разность стала положительной, условились считать В ТУРБИНАХ проекцию абсолютной скорости на окружную, направленную против окружной скорости - положительной, тогда выражение (2.48) записывается в виде:

М_u = G(C_u1r₁+ C_u2r₂) (2.46)

У турбин обычно a₂< 90⁰ ( см. план скоростей на рис.1.8), поэтому принятое положительное направление С_u2 позволяет правильно определять величину в скобках.

Таким образом, на основании уравнения о моменте количества движения получены выражения, связывающие удельную работу, затраченную на сжатие газа в компрессоре (2.44) и отобранную у газа в турбине (2.46) в результате взаимодействия потока с лопатками.

Известно, что момент связан с мощностью на валу через угловую скорость:

Мw = N [вт ], (2.49)

тогда с учётом того, что wr = u

в компрессоре: N_кт = N_k + N_f = G(С_u2 u₂ - C_u1 u₂) ь

э (2.50)

в турбине: N_u = N_т + N_f = G(C_u1u₁+ C_u2u₂). ю

Отношение мощности к расходу называют удельной мощностью или работой, подведенной или отведенной от одного килограмма рабочего тела.

В компрессоре удельную работу называют ТЕОРЕТИЧЕСКИМ НАПОРОМ и обозначают

L_ku= L_k - L_f = С_u2 u₂ - C_u1 u₁, (2.51)

где L_k - удельная работа, затраченная на сжатие газа в компрессоре.

В ТУРБИНЕ удельную теоретическую работу обозначают L_u:

L_тu= L _т + L _f = C _u1u₁+ C_u2u₂ , (2.52)

где L _т - удельная работа переданная от газа валу турбины.

Размерность удельной работы: Дж/кг, или в основных единицах м²/с².

В теории турбомашин выражения (2.51) и (2.52) называют уравнениями Эйлера в 1-й форме..