Метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных по количеству проявившихся в ПО ошибок

Получим решение, удовлетворяющее в некотором смысле всей совокупности экспериментальных данных.

При этом не будем стремиться, чтобы решение удовлетворяло точно всем экспериментальным точкам (к тому же в рамках рассмотренной простой модели всего с двумя свободными параметрами это невозможно по алгебраическим соображениям).

Значение неизвестных параметров N₀ и К будем определять, исходя из минимизации суммы квадратов невязок между экспериментальными данными Dn_i и значениями Dn_i, определяемыми по модели (1).

Этот метод называется методом наименьших квадратов.

Он позволяет разрешить в алгебраическом смысле переопределенную систему, когда число уравнений (наблюдений) превышает число переменных.

В результате использования метода наименьших квадратов получается «решение», удовлетворяющее всем наблюденным значениям в смысле минимизации суммы квадратов отклонений решения от наблюденных значений.

При этом структура решения (структура модели 1) должна быть известна и введена в систему соотношений метода.

Запишем сумму квадратов невязок

Найдем значение N₀ и К, при которых эта сумма имеет минимум. Для этого приравняем нулю производные суммы по искомым параметрам.

 

Отсюда следует, что

 

Но из () следует, что первое слагаемое равно 0.

Окончательно получим уравнение, которое совместно с (2) образует систему 2-х уравнений с двумя неизвестными N₀ и К.

Выразим из 1-го уравнения N₀, суммируя по частям и вынося постоянные, не зависящие от индекса i, за знак суммы

Подставляя это выражение во второе уравнение, имеем

 

 

 

 

Отсюда

Из данного трансцендентного уравнения относительно только одного неизвестного К численным методом можно определить К. Подставляя определенное значение К в (3), можно определить N₀.

Суть метода – организация итерационной процедуры вычисления левой и правой части равенства при различных значениях К. Процедура прекращается и К считается найденным, как только разница между вычисленной левой и правой частью равенства не станет меньше заданного малого числа.

Оценка момента завершения отладки по наблюдению за процессом проведения ошибок

Отладка По должна проводиться по плану и завершаться по выполнению намеченного плана. Вопросы выбора критериев отлаженности ПО и составления плана отладки в соответствии с этими критериями отдельно рассматриваются в соответствующих курсах..Модель Джелинского - Моранды может независимо и достаточно достоверно оценивать ход процесса отладки, который целесообразно прекращать, когда все ошибки обнаружены и интенсивность их проявления стала очень низка. Однако, имеются два вопроса, которые надо снять для того, чтобы получить ответ на вопрос когда можно прекращать отладку?

Во первых, модель непрерывная и может показывать дробное число ошибок на заданный момент времени, в том числе и значение количества оставшихся ошибок меньше 1. Конечно, это не соответствует физическому смыслу и может считаться недостатком модели. Однако, построение дискретной модели, показывающей только целое число ошибок будет гораздо более сложным и делать мы этого не будем. Во вторых, модель никогда не покажет точный нуль. Количество оставшихся ошибок будет приближаться к нему бесконечно долго.

Задавшись вероятностью обнаружения всех ошибок мы можем определить время, для которого данная вероятность будет достигнута. Это позволит нам аккуратнее ответить на вопрос сколько времени надо продолжать отладку – столько, чтобы вероятность отсутствия ошибок была, например, 0, 999 или любым другим заданным числом.

Ранее нами была получена формула, определяющая вероятность обнаружения ровно n ошибок из N₀, имеющихся в ПО.

Если в эту формулу подставить n равное N₀, то время через которое все ошибки будут обнаружены с вероятностью P_N0 можно найти из выражения

P_N0 = (1- e^-kt)^No

Но уравнение нашего наблюдения за количеством проявившихся ошибок на единичном интервале Δ t

Выражая из последнего функцию ехр и подставляя её в выражение для P_N0, имеем

P_N0 = (1 - ) ^No

Воспользовавшись выражением для бинома Ньютона с учетом близости P_N0 к 1 и возможностью в этом случае отбрасывания всех членов кроме первых двух из за их малости, имеем.

P_N0~= 1- No = 1-

Иными словами, задание Δ n_i значением 0, 0001 приводит к вероятности отсутствия ошибки ˃ 0, 999.

Определения надежности ПО по модели Джелинского-Моранды является дополнительным методом, экспериментально подтверждающим достигнутую надежность ПО – малую интенсивность проявления ошибок ПО.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: