Приведенная масса. Приведенный момент инерции.

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения^[1].

Обычно приведенная масса {\displaystyle \mu } определяется из равенства {\displaystyle T=\mu v^{2}\, /2}, где {\displaystyle T} — кинетическая энергия системы, а {\displaystyle v} — скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции {\displaystyle \mu _{ij}} в выражении кинетической энергии системы со стационарнымисвязями, положение которой определяется {\displaystyle s} обобщёнными координатами, {\displaystyle r_{i}: }, {\displaystyle 2T=\sum _{i, \, j=1}^{s}\mu _{ij}\, {\dot {r_{i}}}{\dot {r_{j}}}\,, }где точка означает дифференцирование по времени, а {\displaystyle \mu _{ij}\ } есть функции обобщённых координат. В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой {\displaystyle m_{1}\ } и другое с массой {\displaystyle m_{2}\ }. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной {\displaystyle \mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\, },, где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс. Приведённая масса всегда меньше каждой из масс {\displaystyle m_{1}\ }или {\displaystyle m_{2}\ } равна одной из них, если эта масса равна нулю. Пусть масса {\displaystyle m_{2}\ } значительно меньше массы {\displaystyle m_{1}}{\displaystyle m_{2}\ll m_{1}}, тогда приближённое выражение для приведенной массы будет.{\displaystyle \mu ={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\approx m_{2}(1-{\frac {m_{2}}{m_{1}}})\approx m_{\mathrm {2} }\.} Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой.{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.} Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы.{\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.} В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению: {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.}Таким образом, имеем {\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}} или

{\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.}Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением. {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\mathbf {F} _{12} \over \mu }.}Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе. {\displaystyle \mu }. Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это {\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}где {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} — радиус-вектор i-ой частицы с массой {\displaystyle m_{i}}. Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}и пусть центр масс задаёт систему отсчёта. {\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}{\displaystyle m_{i}}{\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}, \, \, \mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде

{\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r), }откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела. {\displaystyle \ {1 \over x_{\text{eq}}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}\, }где {\displaystyle x_{i}\ } — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи), {\displaystyle x_{eq}\ } — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики. Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку. Приведенный момент инерции – это условный момент инерции, обладая которым звено приведения будет иметь кинетическую энергию, равную сумме кинетических энергий всех звеньев механизма. Следовательно, приведенная масса и приведенный момент инерции являются функциями только положения звена приведения. Для большого класса механизмов m пр и J пр являются постоянными величинами (зубчатые механизмы с круглыми колесами, турбины, компрессоры и др.). Когда передаточное отношение в механизме не меняется (зубчатые и другие механизмы), приведенный момент инерции остается постоянным.

31.Три стадии движения механизма. Понятие о средней скорости ср и коэффициенте неравномерности движения.

Движение любого механизма можно условно разделить на три основные стадии: разбег, установившееся движение и останов. Разбег (пуск) – на этой стадии движения скорость ведущего звена увеличивается от 0 до установившегося (рабочего) значения. В начальный момент времени кинетическая энергия механизма равна нулю. Тогда основное уравнение движения в интегральной форме запишется

Откуда

Т.е. на этой стадии движения механизма работа движущих сил идет на преодоление сил полезного и вредного сопротивления и на увеличения кинетической энергии механизма до установившегося значения. Для сокращения времени пуска механизма и облегчении его вывода на рабочий режим часто выключают силы полезного сопротивления (режим холостого хода). Тогда и уравнение запишется

Установившееся движение - скорость ведущего звена остается постоянной ( равновесное движение ) или колеблется около среднего значения ( неравновесное движение ). При равновесном движении кинетическая энергия механизма в этом режиме остается постоянной. При неравновесном движении постоянной остается среднее за период значение кинетической энергии. Тогда из уравнения получим

При неравновесном движении в установившемся режиме скорость начального звена остается в среднем постоянной, но внутри цикла изменяется от минимального до максимального значения т.е.

. Неравномерность вращения ведущего звена оценивается коэффициентом неравномерности вращения

Который характеризует размах колебаний угловой скорости ведущего звена по отношению к среднему значению. Для каждого вида механизмов эта величина задается нормативными документами. Так для металлорежущих станков , для дизельного двигателя - и т.д. Учитывая что можно принять

Тогда

Т.е. отличие максимальной и минимальной скорости вращения от средней составляет меньше двух процентов. Останов (выбег) - на этом этапе движения скорость ведущего звена уменьшается от установившейся до нуля при этом движущие силы отключаются, т.е. . Тогда основное уравнение движения механизма запишется

Для уменьшения времени остановки иногда используют специальные тормозные устройства, создающие силы противодействующие движению механизма, работа которых . Тогда получим

Сре́ дняя ско́ рость — в кинематике, некоторая усреднённая характеристика скорости движущегося тела (или материальной точки). Различают два основных определения средней скорости, соответствующие рассмотрению скорости как скалярной либо векторной величины: средняя путевая скорость (скалярная величина) и средняя скорость по перемещению (векторная величина). При отсутствии дополнительных уточнений, под средней скоростью обычно понимают среднюю путевую скорость. Одним из режимов движения машины при совершении полезной работы является режим равномерного или установившегося движения.

При равномерном движении угловая скорость ω вала двигателя постоянна, а при установившемся движении она периодически изменяется, причём степень неравномерности можно оценить коэффициентом неравномерности:

δ =(ω _max- ω _min)/ω _c,

где ω _с – средняя угловая скорость за цикл ω _с=(ω _max+ ω _min)/2.

Неравномерность вредно сказывается на работе машин, т.к. вызывает дополнительные инœ ерционные нагрузки, которые могут привести к поломке. Практикой установлены значения δ, которые допустимы в различных условиях эксплуатации.

32. Назначение маховика. Регулирование периодических колебаний угловой скорости в случаи, когда Jпр=const.

снижение неравномерности вращения коленчатого вала (маховик - конструктивный элемент кривошипно-шатунного механизма); передача крутящего момента от двигателя к коробке передач (маховик – ведущий диск сцепления). Маховик (маховое колесо) — массивное вращающееся колесо, использующееся в качестве накопителя (инерционный аккумулятор) кинетической энергии. Используется в машинах, имеющих неравномерное поступление или использование энергии, накапливая энергию, когда поступление энергии выше чем расход, и отдавая её, когда потребление превышает поступление энергии. Также используется в гибридном двигателе в качестве накопителя энергии и для рекуперативного торможения. Часто функцию маховика выполняет массивный вращающийся элемент механизма. Такие как гончарный круг, массивные колесаводяной мельницы или массивные зубчатые колеса. Помимо энергии, вращающийся маховик (как и любое вращающееся тело) обладает ещё и моментом импульса, с чем связано наблюдение гироскопического эффекта, заключающегося в прецессии оси вращения вокруг своего первоначального направления при появлении внешней силы, не совпадающей с направлением оси вращения. Первым примером использования гироскопического эффекта можно считать изобретение игрушки «волчок» («йо-йо»). Одним из первых применений гироскопического эффекта стал переход от стрельбы круглыми ядрами к продолговатым снарядам, вращение которых позволило сохранять их ориентацию в пространстве, а продолговатая форма — значительно увеличить их массу (болванка) или же разрывной заряд. Маховиком является и ротор гироскопа, используемого в гирокомпасах и вообще в гироскопических устройствах ориентации в пространстве, в частности торпед (прибор Обри), ракет и космических аппаратов. Наиболее привычные примеры маховика — велосипедное колесо или вращающийся диск электро-проигрывателя виниловых пластинок. Свойство маховика сохранять направление оси вращения используется в успокоителях качки корабля. Кинетическая энергия вращения, накопленная во вращающемся теле (маховике), может быть рассчитана по формуле:

{\displaystyle E={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}{\displaystyle I}— момент инерции массы относительно оси вращения маховика

· {\displaystyle \omega } (омега) — угловая скорость в радианах в секунду

Для простых форм маховика известны конечные выражения момента инерции

· Для полого цилиндра {\displaystyle I={\frac {1}{2}}m(r^{2}+r_{o}^{2})}

где {\displaystyle m} — масса полого цилиндра; {\displaystyle r} — его радиус; {\displaystyle r_{o}} — внутренний радиус цилиндра

· Для тонкостенного цилиндра {\displaystyle I=mr^{2}}

· Для сплошного цилиндра {\displaystyle I={\frac {1}{2}}mr^{2}}

{\displaystyle \omega }{\displaystyle f}{\displaystyle \omega =2\pi f}

{\displaystyle E=m(\pi f)^{2}(r^{2}+r_{o}^{2})}

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: