Передаточные функции и частотные характеристики основных соединений звеньев.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Существуют три основных типа соединений звеньев в системах: последовательное, параллельное и встречно – параллельное (соединение с обратной связью).

Соединение звеньев, при котором выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием для последующего звена, называется последовательным (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Эквивалентная передаточная функция такого соединения или передаточная функция разомкнутой системы согласно определению будет

или

(3.1)

Таким образом, результирующая передаточная функция системы, состоящей из n последовательно соединённых звеньев равна произведению их передаточных функций.

На основании выражения (3.1) амплитудно-фазовая характеристика последовательно соединённых звеньев

(3.2)

Так как, согласно (2.13) можно записать

то подставляя в (3.2) получим

Отсюда следует, что при последовательном соединении звеньев их амплитудно-частотные характеристики перемножаются, а фазовые частотные характеристики складываются:

Соединение звеньев, при котором входная величина у всех звеньев одна и та же, входные величины складываются, называется параллельным (рис.3.2)

Рис. 3.2

Передаточная функция системы при параллельном соединении, согласно определению:

или

(3.3)

Результирующая передаточная функция системы, состоящей из n параллельно соединённых звеньев, равна сумме передаточных функций всех звеньев.

АФХ параллельно соединённых звеньев

Перейти от АФХ к АЧХ можно на основе использования зависимостей (2.12), (2.14) и (2.15), т.е. представить АФХ в алгебраической форме и по правилу сложения комплексных чисел записать

Тогда

Соединение двух звеньев, при котором выходная величина одного звена подается на его вход непосредственно или через другое звено, называется встречно – параллельным (или соединением с обратной связью) рис. 3.3.

Рис 3.3.

Обратная связь может быть отрицательной (-), когда сигнал обратной связи вычитается входного воздействия, и положительной (+), когда складываются.

Тогда, для случая (рис.3.3а), учитывая, что эквивалентную передаточную функцию можно найти как

(3.4)

т.к.

Рассуждая аналогично для случая (рис.3.3.б) можно записать (3.5)

Передаточная функция системы при охвате звена обратной связью равна дроби, числитель которой – передаточная функция звена, а знаменатель – единица плюс (минус) произведение передаточной функции основного звена и передаточной функции обратной связи.

При этом знак (+) соответствует отрицательной обратной связи, (-) – положительной.

АФХ такой системы имеет вид:

АЧХ и ФЧХ можно найти после соответствующих преобразований, аналогичных предыдущему случаю.

На практике наиболее употребительны жёсткая отрицательная обратная связь гибкая (дифференциальная) и изодромная . С помощью обратных связей изменяют в нужном направлении свойства типовых динамических звеньев.

Пример:

Найти передаточную функцию системы, состоящей из интегрирующего звена , охваченного отрицательной обратной связью в виде усилительного звена - жесткая обратная связь.

По формуле (3.3) находим:

;

где ;

Как видно, введение обратной связи резко меняет свойства системы: вместо интегрирующего звена получено апериодическое.

3.2 Эквивалентные преобразования структурных схем

Различные структурные схемы могут обладать одинаковыми передаточными функциями, то есть быть динамически эквивалентными. Структурную схему любой сложности путём последовательных преобразований по определённым правилам можно привести к эквивалентной однородной с сохранением динамических характеристик системы.

Преобразование структурных схем начинают с замены последовательно, параллельно и встречно – параллельного соединения звеньев эквивалентным звеном по ранее приведенным правилам (3.1), (3.3) – (3.5).Избавление от перекрёстных связей и приведение их к одноконтурным, называется свёртыванием структурной схемы. Свёртка выполняется путём переноса узлов (точек развёртывания) и сумматоров. При этом рекомендуется узлы и сумматоры сдвигать по схеме так, чтобы во избежание появления дополнительных связей, узлы и сумматоры не переносились друг через друга.

При этом, если в схеме есть элемент сравнения, то его можно рассматривать как сумматор, так как знак «минус» всегда можно перенести в цепь обратной связи как отдельное звено. Передаточная функция от этого не изменится (3.4). Обозначив изображения сигналов X(p).Y(p) как X.Y имеем:

Рис. 3.4

Основные правила преобразования структурных схем:

1.Перенос точки разветвления узла через звено. Если точку разветвления переносить против направления прохождения сигнала, то в переносимую ветвь добавляется звено с передаточной функцией звена, через которое переносится узел (рис.3.5)

Рис. 3.5

При переносе узла по направлению сигнала в переносимую ветвь добавляется звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое переносится узел (рис.3.6)

Рис. 3.6

2. Пернос сумматора через звено. Если сумматорпереносится противнаправления прохождения сигнала, то в переносимую ветвь следует добавит звено с передаточной функцией обратной передаточной функции звена, через котрое переносится сумматор (рис.3.7).

Рис. 3.7

Дествительно, чтобы сигнал Y оставался неизменным, на вход звена должен подаваться сигнал . Тогда, до преобразования

после преобразования:

преобразование тождественно.

При переносе сумматора по направлению сигнала в преносимую ветвь добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор (рис.3.8)

Рис. 3.8

Проверим тождественность преобразования:

до преобразования

после

преобразование тождественно

3. Перенос узла разветвления через сумматор. Если пернос осуществляется против направления прохождения сигнала, то в этом случае добавляется суммирущее звено к узлу разветвления (рис.3.9)

Рис. 3.9.

Если перенос узла разветвления осуществляется по направлению прохождения сигнала, то в этом случае добавляется суммирующее и единочное отрицательное звенья к перенесённому узлу (рис.3.10).

Рис. 3.10

Рассмотрим пример преобразования многоконтурной системы с

перекрещивающимися связими в одноконтурную(рис. 3.11).

Рис. 3.11

Избавимся от перекрещивающихся связей путём переноса узла разветвления А через звено против направления прохождения сигнала, для чего в переносимую ветвь к звену добавляется звено . Последовательное соединение этих звеньев можно заменить одним .