Графические построения статических характеристик САУ

Если известно математическое описание звеньев образующих САУ, то для получения результирующей статической характеристики необходимо решить систему алгебраических уравнений, которыми описываются их работа в статике, или найти ее графическим способом. Как было показано в п.3.1, в общем случае САУ состоит из комбинации трех основных типов соединений звеньев: последовательного, параллельного и встречно-параллельного или соединения с обратной связью.

При последовательном соединении нескольких звеньев выходная величина одного звена является входной величиной другого (последующего) рис. 3.14. Поэтому для получения результирующей статической характеристики строим последовательно в 1-3 квадрантах статические характеристики соответственно звеньев 1, 2, 3: , , .

 

Рис. 3.14

Принимая произвольные значения x: x=a; x=в, и используя графики, строим искомую статическую характеристику y=y(x) как показано стрелками ( рис. 3.15)

Рис.3.15

В случае двух звеньев, в третьем квадранте строим биссектрису координатного угла. Если число звеньев больше трех, то звенья группируются по 2-3 и построение выполняется последовательно.

Параллельное соединение звеньев (рис. 3.16)

Рис. 3.16

Искомая характеристика y=y(x) находится путем суммирования ординат статических характеристик параллельных звеньев 1, 2, 3 (рис. 3.17) при одних и тех же значениях входной величины (толчки а, в). Отрезок

Рис. 3.17

Встречно-параллельное соединение или соединение с обратной связью (рис. 3.18). Согласно рис. 3.18 можно записать: y=f(x₁)=f(x±x_о.с.)=f(x±y(y))

Рис. 3.18

Знак (+)- для положительной обратной связи, (-) – для отрицательной. Для получения результирующей характеристики в квадранте 1 (рис. 3.19) строим статическую характеристику звена 1, y=f₁(x₁), а в квадранте 2 статическую характеристику x_о.с.=y(y) звена обратной связи 2 (кривая 2).

Рис. 3.19

Поскольку x₁=x±x_о.с. , то x=x₁±x_о.с

Следовательно, при одном и том же значении y для определения искомой характеристики y=f(x) необходимо отнять или прибавить к x₁ значение x_о.с.. таким образом, отрицательная обратная связь уменьшает коэффициент передачи k и повышает точность системы, т.к. при больших колебаниях (x) колебания (y) уменьшаются.

Желаемую характеристику можно получить путем обратных построений за счет конструирования статической характеристики одного из звеньев.

Анализ динамической устойчивости САУ

Понятие об устойчивости САУ

В замкнутых автоматических системах управления при появлении возмущающих воздействий в общем случае возникают колебания регулируемой величины. Эти колебания могут быть затухающими, незатухающими и расходящимися (рис. 2.19, 2.20). Для описания характеристик отмеченных особенностей вводится понятие устойчивость.

Устойчивость – это способность системы, выделенной из состояния равновесия под влиянием возмущающих и управляющих воздействий, с течением времени вновь прийти в равновесное состояние.

Устойчивость – это внутреннее свойство системы управления, не зависящее от внешних воздействий.

Физическую трактовку понятия устойчивости можно пояснить следующим примером. Если шар помещён в верхнюю точку возвышенности (рис. 4.1), то система неустойчива, поскольку при малейшем отклонении шара от начального положения он скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение.

 

Если же шар помещён во впадине (рис.4.1б), то система устойчива: после отклонения шар обязательно возвратится в первоначальное положение, то есть в прежнее положение равновесия. Если трение невелико, то шарик совершит несколько колебаний возле положения равновесия. При большом трении шарик переместится в положение равновесия без колебаний – апериодический процесс. В обеих ситуациях устойчивость и неустойчивость системы не зависит от величины начальных отклонений шара. Однако возможны случаи, когда система при малых отклонениях будет устойчива, а при больших – неустойчива, например, если шар находится во впадине, а впадина расположена на вершине выпуклой поверхности (рис. 4.1в). Принято считать, что такая система устойчива в малом и неустойчива в большом, поскольку устойчивость связана с величиной начального отклонения.

Свойство устойчивости – основное свойство, которым должна обладать любая САУ. Анализ на устойчивость – важный этап исследования САУ. Задача анализа систем на устойчивость решается в таких постановках: устойчива ли система при заданных значениях её параметров; в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая свойства устойчивости.

Очевидно, что судить об устойчивости системы можно по характеру переходного процесса. Переходный процесс в системе зависит как от свойств самой системы, так и от вида возмущения. В общем случае при действии на систему некоторого возмущения переходный процесс y(t) будет состоять из двух составляющих

y(t) =

где - составляющая, определяющая свободное движение системы, определяемое начальными условиями и свойствами самой системы;

- составляющая, которая выражает вынужденные движения, определяемые возмущающими воздействием и свойствами системы.

После прекращения действия входного сигнала x(t) (возмущения) дифференциальное уравнение для СЛА примет вид:

(4.2)

Следовательно, можно утверждать, что решением этого дифференциального уравнения будет функция и для устойчивой САУ необходимо иметь

(4.3)

Выражение (4.3) называют математическим условием устойчивости САУ.

Если

то переходный процесс расходится и система будет не устойчивой. Системы, в которых переходный процесс с течением времени не расходиться и не затухает, называются находящимися на границе устойчивости.

Чтобы исследовать устойчивость САУ, нет необходимости находить общего решение одного дифференциального уравнения (4.1), т.к. оно зависит от вида корней характеристического уравнения САУ. Действительно, уравнение (4.2) имеет решение в виде

(4.4)

где - Постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;

- корни характеристического уравнения системы

(4.5)

полученного на основании дифференциального уравнения (4.2).

В зависимости от уравнения (4.5) переходный процесс в системе будет затухающим или расходящимся. Рассмотрим случаи, когда корни вещественные, комплексные и чисто мнимые.

Вещественные корни. Если все корни являются вещественными и отрицательными, т.е. , то каждое слагаемое уравнения (4.4) с течением времени будет стремиться к нулю, а следовательно, и весь переходный процесс будет затухающим, а система устойчивой (рис.4.2 крив.1).Но если среди вещественных отрицательных корней есть один вещественный положительный , о соответствующее слагаемое при будет бесконечно увеличиваться. Поэтому, хотя все слагаемые, кроме одного, будут затухать, процесс будет расходящимся, неустойчивым (рис4.2.кр2).

Комплексные корни. Каждому комплексному корню соответствует решение вида

(4.6)

Оно представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой и амплитудой . Параметр является показателем затухания огибающей кривой переходного

процессса (рис.4.3)

При положительной вещественной части колебания переходного процесса будут расходящимися (4.4).

Чисто мнимые корни. В этом случае , а корни . Из (4.6) следует, что составляющая переходного процесса представляет собой незатухающие колебания с угловой частотой и постоянной амплитудой (рис.4.5)

Следовательно, для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных сопряженных корней характеристического уравнения были отрицательными.

На комплексного плоскости все корни характеристического уравнения изображаются точками с координатами a и jw (рис 4.6). Для устойчивости линейных САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси.

Рис.4.6

Таким образом, для определения устойчивости необходимо решить характеристическое уравнение замкнутой САУ и проанализировать расположение корней на комплексной плоскости.

Определение устойчивости САУ путём вычисления корней характеристического уравнения не всегда приемлемо из-за высокого порядка решаемых алгебраических уравнений. С другой стороны для определения устойчивости необязательно знать значение корней, достаточна убедиться в отрицательности вещественных частей корня. Методы, основанные на установлении факта их отрицательности, без вычисления самих корней, называют критериями устойчивости.

Различают алгебраические и частотные критерии оценки устойчивости. В теории автоматического регулирования наибольшее распространение получили алгебраические критерии Рауса, Гурвица, Вышнеградского; частные критерии Михайлова и Найквиста.

С математической точки зрения все критерии устойчивости эквивалентны, поэтому подробно рассмотрим только некоторые из них.

Достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси.

Таким образом, для определения устойчивости необходимо решить характеристическое уравнение замкнутой САУ и проанализировать расположение корней на комплексной плоскости.

Определение устойчивости САУ путём вычисления корней характеристического уравнения не всегда приемлемо из-за высокого порядка решаемых алгебраических уравнений. С другой стороны для определения устойчивости необязательно знать значение корней, достаточна убедиться в отрицательности вещественных частей корня. Методы, основанные на установлении факта их отрицательности, без вычисления самих корней, называют критериями устойчивости.

Различают алгебраические и частные критерии оценки устойчивости. В теории автоматического регулирования наибольшее распространение получили алгебраические критерии Рауса, Гурвица, Вышнеградского; частные критерии Михайлова и Найквиста.

С математической точки зрения все критерии устойчивости эквивалентны, поэтому подробно рассмотрим только некоторые из них.

 

Критерии устойчивости

 

Алгебраические критерии устойчивости основаны на зависимости между коэффициентами характеристического уравнения и характером распределения корней этого уравнения в комплексной плоскости. Из алгебраических критериев наибольшего распространение получил критерии устойчивости Гурвица или его иногда называют критерием Рауса-Гурвица.

Критерии устойчивости Гурвица может быть сформулирован следующим образом: линейная система с характеристического уравнения

(4.7)

будет устойчивой, если все коэффициенты уравнения (4.7) положительны (необходимое условие), а все определители Гурвица и все его диагональные миноры положительны (достаточные условие), т.е. если > 0; > 0… > 0.

Определитель Гурвица состоит из коэффициентов уравнения (4.7) и содержит n строк и n столбцов. Он имеет вид:

(4.8)

и составляется следующим образом. По главной диагонали в порядке возрастания индексов выписываются все коэффициенты от до .

Затем каждый из столбцов дополняется вверх коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз – с убывающими. В случае отсутствия коэффициентов подставляются нули. Диагональные миноры составляются по следующему правилу:

= ; ; и т.д.

Последний (n-ый) определитель включает всю матрицу (4.8), но он может быть выражен через предпоследний определитель Гурвица

(4.9)

Условие нахождения системы на границе устойчивости может получить, приравнивания нулю последний определитель ( =0) при положительности всех остальных определителей. Как видно из формулы (4.9) это условие распадается на два

и

Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодической границе устойчивости), а второе – границе второго типа (колебательная граница).

Для уравнений высоких порядков вычисление определителей Гурвица становится достаточно трудоёмким, поэтому использование критерия практически ограничивается уравнениями четвертого – пятого порядков. Другим недостатком критерия Гурвица является то, что при неустойчивости системы он не позволяет определить, как нужно изменить параметры системы, чтобы сделать её устойчивой.

Частотные критерии устойчивости основаны на использовании связи между формой частотной характеристики САУ и характером распределения корней характеристического уравнения.

Частотны критерии устойчивости применяются наиболее широко, так как, во-первых, они позволяют по более простой передаточной функции разомкнутой системы; во-вторых, анализу устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системах. На практике наибольшее применение нашли частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Критерий устойчивости Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду кривой, представляющей собой годограф вектора АФХ

(4.10)

 

На комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до . Годограф А(j )- это характеристический полином замкнутой системы (4.7) при подстановке .

Выделив в правой части уравнения (4.10) вещественную и мнимую составляющие, можно записать

, где

 

(4.11)

 

Кривая Михайлова строится в плоскости Re, jIm по точкам в соответствии с выражением (4.11). Она всегда начинается с точки, расположенной на вещественной положительной полуоси, т. к. при W=0 . При .

причем при четном кривая уходит в бесконечность вдоль вещественной оси Re, а при нечетном - вдоль оси jIm.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: линейная система регулирования будет устойчивой, если годограф вектора A(j< 0) при изменении от 0 до для уравнения n-ого порядка проходит последовательно n квадратов, при чем вектор А(j ) должен поворачиваться против часовой стрелки (необходимое и достаточное условие).

На рис.4.7 построены годографы Михайлова для устойчивых (рис.4.7а) и неустойчивых (рис.4.7б) систем.

 

Для устойчивых САУ кривая Михайлова всегда имеет плавную спиралевидную форму, уходящую в бесконечность в квадрате комплексной плоскости, номер которого соответствует степени характеристического уравнения. Больше чем n квадратов кривая Михайлова вообще не может пройти. Неустойчивость системы всегда связана с нарушением последовательности обхода квадратов кривой Михайлова (рис.4.7б)

Условием нахождения САУ на границе устойчивости является прохождение кривой Михайлова через начало координат (рис.4.8).

 

Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень, т.е. свободный член этого уравнения an=0, то начало кривой Михайлова будет в начале координат (кривая 1 рис.4.8). В случае получения решения уравнения чисто мнимых корней кривая Михайлова будет соответствовать кривой 2 на рис.4.8. Последнее означает наличие в САУ незатухающих колебаний с частотой , т.е. нахождение этой системы на границе устойчивости. Незначительные изменения параметров системы могут сделать ее либо устойчивой (кривая 4 на рис.4.8)

Критерий устойчивости Найквиста. Для оценки устойчивости замкнутой САУ при известной амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы применяют критерий Найквиста. Необходимая АФХ может быть получена как аналитически, так и экспериментально. Последнее абстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от уже рассмотренных.

Отметим, что разомкнутая САУ может быть устойчивой, неустойчивой или находится на границе устойчивости. Если САУ состоит из устойчивых звеньев, то она будет устойчивой и в разомкнутом состоянии, а при наличии хотя бы одного неустойчивого элемента разомкнутая система будет неустойчивой.

Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: автоматическая система регулирования устойчивая или нейтрально устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом, если АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами(-1; j0). Она строится на комплексной плоскости при изменении частоты w от 0 до .

На рис.4.9. приведены примеры устойчивой(а) и неустойчивой(б) замкнутой САУ, когда в разомкнутом состоянии система устойчива.

Рис.4.9

Если АФХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (-1; j0), то система находится на границе устойчивости и в ней возникают незатухающие колебания выходной величины.

Если провести окружность с единичным радиусом до пересечения с АФХ и через точку А и нулевую - прямую линию(рис.4.9.а), то величины(l) и (j) будут определять запас устойчивости по амплитуде (l) и фазе(j). Чем больше эти параметры, тем устойчивее САУ.

Следует обратить внимание, что все реальные САУ являются нелинейными. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения анализируемых САУ получены путем линеаризации. На основании теорем А.М.Лапунова следует:

1.Если линеаризованная система устойчива, то устойчива и исходная нелинейная система.

2.Если линеаризованная система неустойчива, то неустойчива и исходная нелинейная система.

3. Если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то для определения устойчивости исходной нелинейной системы необходимо произвести дополнительные исследования по исходным нелинейным уравнениям системы.

Эти теоремы справедливы для исследования устойчивости САУ в малом, а также по отношению к несильно выраженным нелинейностям. К нелинейным релейного типа эти теоремы неприменимы. Методы исследования нелинейных САУ будут рассмотрены ниже.

 

Анализ качества САУ

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: