Методы анализа нелинейных САУ

 

При анализе нелинейных САУ структурную из последовательно включённых нелинейных и линейных элементов, обычно указывает вид нелинейности (рис 6.2). При этом статистические характеристики нелинейных звеньев можно суммировать, заменяя их эквивалентными звеньями по известным из п. 3.4 правилом, отделяя однозначные нелинейности от однозначных.

Следует отметить, что к нелинейным САУ в отличие от линейных неприменим принцип суперпозиции, который позволяет находить выходную величину по сумме входных воздействий. Так, например, переходная характеристика в нелинейной САУ при типовом воздействии не позволяет оценить реакцию системы на ступенчатое воздействие большей или меньшой величины.

 

 

Рис 6.2.

 

Для исследования нелинейных систем разработан ряд приближенных методов: припасовывания, гармонической линеаризации и фазовой плоскости.

Метод припасовывания заключается в том, что нелинейное уравнение системы разбивается на ряд линейных и последовательно решается, принимая конечные значения предыдущего участка за начальные последующего, т.е. участки припасовываются друг к другу.

Метод гармонической линеаризации может быть использован для определения условий существования и параметров автоколебаний, а так же для приближенной оценки качества переходных процессов.

Суть метода гармонической линеаризации (гармонического баланса) заключается в исследовании поведения систем при подаче на вход нелинейного элемента гармонического (синусоидального) воздействия. При этом сигнал на выходе нелинейного элемента разлагают в ряд Фурье и заменяют первой гармоникой.

Подавая на вход нелинейного элемента (рис.6.2) гармонический сигнал

x=asinω t

на выходе этого элемента будем иметь прямоугольные амплитуды (рис.6.3).

 

 

Рис.6.3

Представив прямоугольные колебания в виде суммы гармонических с различными амплитудами и частотами (разложив в ряд Фурье) получим

y=A₁sinω t+A₂ sin2ω t+…

где A₁, A₂ -коэффициенты разложения в ряд Фурье. Считая, что в линейной части системы за счет ее инерционности высокочастотные колебания фильтруются, поэтому с точки зрения получения одинаковых автоколебаний на выходе линейной части можно заменить прямоугольные колебания на входе линейной части первой гармоникой их разложения в ряд Фурье.

y=A₁sinω t(6.2)

После такой замены как на входе, так и на выходе нелинейной части можно рассматривать гармонические колебания соответственно

x=asinω tи y=A₁sinω t

т.е. нелинейная часть при этих условиях становиться как бы линейным элементом, у которого при подаче на вход гармонических колебаний на выходе устанавливаются так же гармонические колебания.

Выразив из уравнения (6.1) sinω t и подставив его в уравнение (6.2) получим

y=( A₁/a)x=qx, (6.3)

т.е. линеаризованную характеристику нелинейной статической характеристики (рис.6.1 в) с углом наклона arctg .Коэффициент пропорциональности q называют коэффициентом гармонической линеаризации.

Особенность гармонической линеаризации состоит в том, что линеаризуется нелинейная зависимость не отдельно, а при работе в системе. Поэтому коэффициент гармонической линеаризации зависит не только от параметров самой нелинейной зависимости (величинаA₁), но и от свойств всей системы, определяющих величину амплитуды автоколебаний a.

Если нелинейная часть имеет неоднозначную характеристику (типа приведенной на рис. 6.1 г, д ), то при разложении колебаний выходной величины нелинейной части в ряд Фурье получим зависимость

y=A₁sinω t+B₁cosω t

Линеаризованную таким образом нелинейную систему исследуют уже рассмотренными ранее методами.

Метод фазовой плоскости. Это графический способ анализа нелинейных САУ, позволяющий оценить поведение систем, описываемых нелинейными уравнениями 1-ого и 2-ого порядка. Решение этих уравнений может быть отображено в двухмерном пространстве, называемом фазовой плоскостью, одной координатой которой является регулируемая величина y, другой – скорость регулируемой величины y′.

В процессе решения на фазовой плоскости строятся фазовые траектории, определяемые возможными начальными условиями и возмущениями, называемые фазовым портретом.

Из рассмотрения фазовых траекторий (рис.6.4), описываемых уравнениями 2-ого порядка, следует, что по характеру траектории можно судить об устойчивость движения системы. Например, если фазовый портрет имеет вид логарифмической спирали, стремящейся к началу координат (рис.6.4 а), то колебательный переходный процесс будет затухающий (т.е. устойчивый). Если же спираль раскручивается от начала координат (рис.6.4 б), то переходный период в системе колебательный, расходящийся (рис.6.4. б).

Рис.6.4.

 

Если фазовая траектория имеет вид эллипса, то переходный процесс представляет собой незатухающие гармонические колебания.

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: