Уравнение Бернулли для элементарной струйки

Выделим в текущей жидкости двумя произвольными сечениями I и II который объем элементарной струйки υ. Через первое сечение этой струйки жидкость вносит энергию в 1 времени.

Энергия уносимая жидкостью через сечение II за 1 времени, из рассматриваемого объёма, равна:

Если течение установившееся, то

Тогда в случае невязкой жидкости, когда отсутствует обмен энергии между струйным и внешним потоком. Полная энергия жидкости величина не зависящая от времени, т.е.

Для случая стационарного движения невязкой, несжимаемой жидкости уравнение (53) будет с учетом, что

Из этих уравнений делаем выводы, имеющие большие теоретические и практические значения.

Например, увеличение скорости течения жидкости от одного течения к другому и соответственно увеличение кинематической энергии потока, произойдет за счет уменьшения наружу увеличений пот. энергии и наоборот. Это уравнение наглядно демонстрирует переход одного вида энергии в другой.

Дифференциальные уравнения динамики

Невязкой жидкости в формуле Эйлера

Пусть параллелепипед, выделенный в объеме жидкости, текущей со скоростью υ подвержен действию поверхностных сил и массовой силы Q, применяя принцип Даламбера, прикладываем к нашему объему силу инерции, проекции силы инерции будут соответственно

Создавая условия равновесия параллелепипеда относительно осей OX OY OZ аналогично (I.2) получим

Сокращая на dX dY dZ и приводя подобные члены получим

В общем случае величина υ x υ y υ z является функциями времени. Потому например диф.ур.

Тогда подставляя в (6.1) аналитичные дифференциалы dυ y и dυ z и заметим, что

 

Имеем

Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости в формуле Эйлера

1.если течение установившееся, то

2.если то уравнение (6.2) превращается в уравнение (I2.2)

То уравнение (6.2) превращается в уравнение (I2.2)-ур.гидродинамики

Интеграл Бернулли

При известных условиях, уравнения Эйлера могут быть проинтегрированы. Ведь этот метод стационарные течения. Умножая 1 ур. Из (6.1) dX, получим:

Тогда, если

1.ускорение массовых сил имеет потенциал, т.е.

2.течение установившееся, то

Тогда уравнение (7.2) будет:

3.если жидкость несжимаемая (ρ =const) то из (42) следует, что

Таким образом, полученный нами трехчлен сохраняет свое значение вдоль линии тока. Рассмотрим в качестве массовой силы силу тяжести, т.е. X=Y=0, Z=-Y, следовательно

Ур. 7.4 интеграл Бернулли для установившегося течения несжимаемой невязкой жидкости. Аналогичен полученному нами другим путем ур.(5.4)

В этом случае в рассмотрение введутся вспомогательная функция

Тогда суммируя все частные производные получим (умножая почленно на dx dy dz )

Таким образом интеграл Бернулли (7-3) будет

Потенциальные и вихревые течения

Угловые скорости движения частиц вечное движение частиц жидкости может быть представлено суммой трех движений:

а)поступательного б)вращательного в)деформационного

вращательное движение жидкости наз. вихревым

введем вектор

найдем формулу для определения компонентов условий скорости, т.е.

возьмем в системе координат xoyz частицу жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда. И пусть ώ -суммарный вектор вихревого движения с компонентами ώ x, ώ y, ώ z

Рассмотрим положение грани параллелепипеда в пл. XOY в момент времени t имеем скорости:

В момент времени t+dt положение граней параллелепипеда за считается соответствующим положением граней относительно начального момента времени (т.е. совмещение изображение)

Рассмотрим разность перемещений точки а и о в направлении оси Х за время dt

 

Теперь определим углы поворота граней: так как углы малы, то имеем

Положение грани авс через dt может быть представлено в виде суммы двух движений- вращения на угол d и деформации относительно биссектрисы угла аос на угол dβ

в этом случае углы dɣ 1 dɣ 2 определятся как

 

подставляя в (8.2) (8.1) получим

аналогично

ώ x ώ y ώ z определяют собой угловую скорость вращения биссектрисы угла при точке 0 в соответствующей грани параллелепипеда.

1234Следующая ⇒

Поделиться: