Вихревая линия. Вихревая трубка. Вихревой шнур.

Как мы выяснили, поток, обладающий вихревым движением, характеризуется вектором условий скорости ώ (вихрь). Таким образом, поток жидкость характеризуется векторным полем. По аналогии с II.1. вводится понятие вихревой линии и трубки.

Вихревой линией называется линия, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора угловой скорости в точке касания.

Аналогично (II.1.2) уравнение вихревой линии имеет вид

Совокупность вихревых линий, пронизывающих замкнутый контур называется вихревой трубкой, а жидкость ее заменяющая – вихревым шнуром.

Мерой интенсивности вихревого шнура служит напряженность вихревого шнура (Г)

если сечение под углом

Бесконечный тонкий вихревой шнур вихревой нитью

Циркуляция скорости

Выберем в поле скоростей произвольный контур, замкнутый. И элемент dL на этом контуре. Проекция вектора υ на элемент контура dL обозначается

Произведение (проекции вектора υ на элемент контура L) на длину этого элемента называется элементарной циркуляцией скорости.

Если необходимо вычислить циркуляцию от А до В то

Если контур замкнут, то

Или в векторной форме

Теорема Стокса

а) рассмотрим прямоугольный треугольник б.м. малый по величине

при вычислении циркуляции по этому контуру будем предполагать, что во всех точках каждой из сторон скорость одинакова. (Учет этих изменений вдоль стенок дал бы очень малую погрешность и мы это не учитывали) таким образом имеем:

для стороны ас скорость определим в средней точке. И будем считать ее постоянной для стороны ас. Тогда элементарная циркуляция

Так как

и согласно (8.3)

 

то подставляя получим

б) Рассмотрим косоугольный треугольник б.м.

проведем из т. в перпенд. на АС. Получим два прямоугольных треугольника. На основании (11.1) имеем

сложим эти равенства

суммы вихрей потока пронизывают обе площадки

рассмотрим левую часть равенства

в) Рассмотрим четырехугольник б.м.

соединив а и с имеем два косоугольных т-ка.

Общая напр. вихрей через контур четырехуг.

При вычислении суммарной обратим внимание что:

2. общий случай

Выберем замкнутый контур L, опирающийся на поверхность S. Разбиваем S на элементы. Для любого i-го участка

Если теперь просуммировать последовательно все участки, учитывая одинаковые по значению, но разные по направлению циркуляции, то в результате останутся лишь участки на контуре поэтому

Суммирование элементарных напряженностей вихрей даст суммарную напряженность вихрей пронизывающих поверхность S.

Таким образом, на основании (11.1) и приведенных выше выводах имеем:

Теорема Стокса циркуляция скорости по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме напряжений всех вихрей, пронизывающих поверхность S, опирающуюся на этот контур и не выходящую за пределы жидкости.

Замечание из теоремы Стокса следует, что если угловые скорости частиц жидкости равны 0, (т.е. нет вихрей) то и I_L=0. Обратное несправедливо, что показано на рисунке.

Здесь I_L=0, но вихри есть.

Первая теорема Гельмгольца

Выберем вихревой шнур и рассмотрим два его сечения:

Возьмем поверхность так, чтобы она опиралась на контур L1, т.е. состояла из S1.2 и σ 2 тогда согласно (11.2) имеем

Первый интеграл равен 0, т.к. образующие трубку линии- вихревые и ώ касательные к ним т.е. S2 вихри не пронизывают.

Итак:

Теорема Напряжение вихрей в вихревом шнуре остается постоянным.

Из (12.1) и (9.3) следует, что

Вихревая трубка не может иметь внутри жидкости ни начала, ни конца.

Поле скоростей вихревого шнура

 

Возьмем бесконечный вихревой шнур и проведем вокруг него замкнутый контур- окружность радиуса h

П о теореме Стокса (11.2) запишем: Г=I_L

I_{L= L}dL= ;

В силу симметрии потока и во всех точках окружности будет иметь одну и ту же величину, т.е.

Окончательно

Отметим, что скорости равноудаленных симметричных точек будут равны и противоположны.

Итак, если у нас в жидкости имеется вихрь, то эпюра скоростей имеет вид (см.рис.)

здесь имеются две области:

а)ядро вихря

б)индуцируемое течение

рассмотрим течение частичек жидкости в каждой области

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: