Теорема Н.Е. Жуковского (о подъемной силе крыла в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости)

Вернемся к уравнению (19.1) и рассмотрим рисунок §16. Итак F_y=0.рассматривая силы, действующие в направлении оси y на движущуюся жидкость получим:

Два интеграла- это силы давления снизу и сверху тела. Отсюда

Уравнения Бернулли:

 

Представим скорости в любой точке как:

Тогда получаем:

Подставляя получим следующее выражение

Рассмотрим циркуляцию скорости по контуру авcda

итак:

Так как:

Подставляя I2 в (β ) имеем

Окончательно

Для единицы размаха крыла

Теорема Подъемная сила единицы размаха тела в плоскопараллельном установившемся безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости равняется произведению плотности среды, скорости невозмущенного потока и циркуляции скорости по любому охватывающему данное тело (крыло).

Отметим, что I2> 0 то Y направлено вверх

I2< 0 то Y направлено вниз

· I_ф не равна 0, то само тело является эквивалентом системы вихрей, иначе бы I_ф=0.

Вихри, которыми можно заменить крыло, наз. присоединенными.

Возникновение циркуляции и подъемной силы крыла

Рассматриваем крыло в момент времени t=t₀, когда оно находится в покое, т.е. υ =0 в этом случае согласно (20.1)

Y=ρ υ Г=0

В момент времени t> t₀ крыло начало двигаться, т.е. υ, Y, I не равны 0.

Рассмотрим, что происходит в жидкости.

При разгоне крыла с поверхности его сходит вихрь- разгонный

В момент времени t> t₀ если мы возьмем I_c1 то I_c1 не равно 0, но если мы возьмем циркуляцию по контуру L=C1+C2, то как видим

I_L=0=I_C1+I_C2, отсюда I_C1=-I_C2 (21.1)

Контур С1 наз. контуром Жуковского

При торможении крыла с него сходит вихрь обратного знака. И при полной остановки сходит тормозной вихрь.

Таким образом, когда крыло остановится после движения, то циркуляция по С1, по С2 и по общему контуру L равны 0.

Т.е. I_C1=I_C2= I_L=0

Всякому изменению подъемной силы соответствует изменение циркуляции, так как при всяком изменении подъемной силы с конца крыла сойдут вихри одного или другого знака.

Уравнения динамики вязкой жидкости

Выделим в двигающейся вязкой жидкости прямоугольный параллелепипед с гранями dx, dy, dz и приложим к нему действующие силы.

1.Q=ma, a=a(X, Y, Z)-массовые силы

2.I=-m -инерционные силы

3.Р_пп и Р_пм-напряжения на гранях параллелепипеда

Поскольку под действием приложенных сил параллелепипед находится в равновесии, можем составить уравнения проекций сил на соответствующие оси.

Подробно преобразования этих уравнений рассматривается в курсе гидравлики. В окончательном виде уравнения движения вязкой жидкости имеет вид:

( 7.1)

Уравнения (17.1) носят названия д.уд.в.ж.-Навье-Стокса

Здесь р-давление в центре параллелепипеда (в случае ид.жидкости)

μ -коэффициент динамической вязкости

последние два слагаемых учитывают силы, обусловленные вязким трением(т.е. касательные напряжения)

рассмотрим случай несжимаемой жидкости. Согласно уравнения неразрывности §3 в этом случае divV=0. Тогда из (17.1) имеем

(17.2)

дополнительно к этому предположим, что течение потенциальное, т.е. существует потенциал скоростей φ =φ (X, Y, Z) такой, что

 

тогда рассмотрим в (17.2) слагаемое μ Δ V_x

но в случае потенциальных потоков Δ φ =0, следовательно Δ V_x=0. Тогда из (17.2) вытекает

анализируя (17.3) приходим к выводу, что для потенциального течения вязкой несжимаемой жидкости справедливы дифференциальные уравнения невязкой жидкости в форме Эйлера. интегрирование ур. Навье-Стокса в силу их нелинейности связано с большими материальными трудностями. Сейчас известно лишь небольшое число случаев, для которых найдено точное решение уравнений (17.1). в большинстве своем уравнения упрощают и решают приближенными методами.

Элементы теории подобия

Как отмечалось выше, для решения большинства сложных задач в гидроаэродинамике прибегают к экспериментальным исследованиям. Для того чтобы можно было потом перенести результаты этих исследований на натуру необходимо знать условия, определяющие подобия между явлениями, происходящими на модели и на натуре, т.е. условия подобия.

Теория подобия занимается изучением условий, определяющих подобие между явлениями, происходящими на модели и на натуре.

Так, в аэродинамических трубах продувают модели крыльев, летательных аппаратов и после этого переносят полученные в результате эксперимента результаты на натуральные объекты-крылья, летательные аппараты.

Гидродинамическое подобие включает в себя геометрическое, кинематическое и динамическое подобие потоков. Составляющие гидродинамического подобия:

Геометрическое подобие- характеризуется одинаковыми соотношениями между линейными размерами систем (масштабы длины)

Кинематическое подобие- означает, что соотношения между скоростями течений соответствующих частиц систем одинаковы и траектории движения частиц подобны.

Динамическое подобие- означает, что многоугольники сил (массовые, поверхностные, инерционные, трение) в соответствующих частицах систем подобны.

Рассмотрим уравнение Навье-Стокса (1.2) описывающее установившийся процесс для натуры (индекс н) в проекции но ось ОХ

Пусть на модели (индекс м) воспроизводится аналогичный процесс, тогда для модели уравнение (17.1) в проекции на ось ОХ запишется так:

Найдем условия, при которых уравнение (18.2) будет описывать отрезок, происходящий на натуре. Итак:

1.Геометрическое подобие.

2.кинематическое подобие

3.Динамическое подобие.

а)давление Рн=f_ppM

б)ускорение массовых сил

величины f_L f_υ f_p f_Q наз. масштабными подобиями.

Обозначим далее:

f_μ f_p-масштабы физических констант

перепишем теперь уравнение (18.1) в развернутом виде:

в этом уравнении имеется четыре типа слагаемых, которые преобразуем с учетом(18.3)-(18.7С учетом полученных выражений перепишем (18.8) в виде

С учётом полученных выражений перепишем(18.8) в виде:

Очевидно, что уравнение (18.9)описывает натурный поток. Отсюда можно выписать следующих три условия

То это уравнение превращается в уравнение, описывающее модельный поток. Отсюда можно выписать следующие 3 условия

Или перепишем их в преобразованном виде

Рассмотрим каждое из соотношений в определенном, учитывая (18.3)-(18.7)

1

Если массовое силы-это силы веса, то в проекции на ось Я имеем (Х_н=Y_м=0; Z_н не равно q)

Число Фруда характеризует соотношение между силами инерции и силами тяжести. 2

 

Здесь V=μ /ρ -кинематический коэффициент вязкости

Число Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции и силами вязкости.

Отметим, что для труб число Re=

Число Эйлера характеризует соотношение между силами инерции и поверхностными силами

Из этого критерия пометим еще один критерий подобия потоков, играющих большую роль в газовой динамике

Как известно

Тогда

Итак, получены наиболее важные соотношения аэродинамического подобия потоков.

Для существования аэродинамического подобия потоков необходимо, чтобы числа Fz_н, Re_н, Е_пм модельного потоков.

Отметим, что все параметры подобия величины безразмерные. Покажем это. Обозначим размерности соответствующих величин

Следует иметь ввиду, что вышеприведенные критерии не являются единственными. У нас рассматривался установившийся поток вязкой жидкости. В случае неустановившегося потока существует критерий-число Струхаля. Учет сил поверхностного напряжения дает критерий-число Вебера и т.д. надо сказать что удовлетворить всем критериям подобия одновременно практически невозможно, поэтому при исследовании течений выделяется один или два основных критерия, пренебрегая влиянием отдаленных, или стремясь исключить их влияние.

Несколько слов о методе размерностей. В практике часто бывает известно априорная функциональная зависимость между параметрами и характеристиками. Когда нет возможности получить аналитическую формулу такой зависимости, то для отыскания эмпирических зависимостей в ряде случаев пользуются методом размерностей.

Метода размерностей применяется для отыскания эмпирических зависимостей между параметрами и характеристиками, определяющими тот или иной процесс.

Рассмотрим применение метода размерностей на следующем примере. Из опыта известно, что аэродинамическая сила, возникающая при обтекании тел потоком жидкости, зависит от нескольких параметров –υ, ρ, μ; характерных размеров тела(S-пл.крыла, L-длина фюзеляжа). Функционально это запишется так:

Или в виде соотношения (полагаем, что R равномерна по поверхности крыла, т.е. R=S)

С-коэффициент пропорциональности б/р.

Рассмотрим размерности входящих сюда значений

Подставляя размерности величин в *, получим

Так как размерность слева и справа должна совпадать, имеем

Следовательно, соотношение * можно переписать так

Аналогично может быть получена эмпирическая формула для момента аэродинамической силы.

Пограничный слой

Наблюдения за обтеканием тел потоком вязкой жидкости показали, что вязкость среды проявляется вблизи поверхности обтекаемого тела, а вдали от него влияние вязкости можно не учитывать и считать течение невязким.

Слой жидкости, прилегающий к поверхности обтекаемого тела, в котором скорость изменяется от 0 на поверхности тела до скорости набегающего потока, наз. ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ (погранслой).

Если бы силы вязкости отсутствовали, то эпюра скоростей при обтекании тонкой пластины, имела бы прямоугольную форму.

При течении вязкой жидкости, как показывали опыты, частицы жидкости, соприкасающиеся с поверхностью тела пластины, полностью затормаживаются (прилипают). По мере удаления от пластины скорость увеличивается, асимптотически приближаясь к скорости невозмущенного потока. Поэтому эпюра скоростей в этом случае существенно отличается от эпюры скоростей в случае идеальной(невязкой жидкости). Отметим, что положение верхней границы погранслоя достаточно неопределенное. Поэтому за толщину погранслоя σ принимают расстояние от поверхности тела до точки, где V_x=0, 995V (или V_x=99, 5%V)

Как известно из гидравлики, погранслой может быть ламинарным, турбулентным и смешанным, что характеризуется числом Re потока. Когда Re достигает Re_кр, первоначальный ламинарный слой (ЛПС) переходит в турбулентный.

Это происходит на небольшом участке (Х2-Х1), которым за малостью пренебрегают и считают, что переход происходит в одном сечении, координата которого обозначается Х_τ . Точка на пластине с координатой Х_τ наз. точкой перехода. Для точки перехода справедливо соотношение:

V-кинемат.коэф.вязкости

Отметим, что непосредственно вблизи тела на всем его протяжении имеется подслой толщиной Δ, где течение имеет ламинарную структуру.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: