ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Рис. П1

Найдём период колебаний трифилярного подвеса. Для этого вычислим энергию движущегося подвеса. Если в некоторый момент времени подвес повернут на угол j относительно своего равновесного положения, то его центр инерции при этом поднят на высоту h относительно того же положения. Запишем энергию подвеса:

(П1) Здесь, как обычно, точкой над функцией обозначена ее производная по времени. Выразим высоту h через j – угол поворота подвеса. На рис. П1 равновесное положение подвеса

изображено пунктирной линией, положение после поворота на угол j – сплошной. Из рисунка видно, что:

(H–h)²= L² – d². (П2)

Величину d легко найти из треугольника A'ED:

d²= R²+ r²– 2rR cosj. (П3)

Величину H определим из треугольника ABC:

H²= L² – (R–r)². (П4)

В условиях нашего опыта длина нитей L, на которых укреплён подвес, значительно превышает радиусы R и r:

L > > R, L> > r. (П5)

Кроме того, будем рассматривать только малые колебания, при которых

|j| < < 1 (П6),

и, как следствие этого, h< < H.

С учётом этих неравенств из (П2) – (П4) получим:

(П7)

Дифференцируя (П7) по времени, получим:

(П8)

Сравним теперь первые два слагаемые в (П1) друг с другом. Момент инерции подвеса I имеет порядок mR², поэтому:

С другой стороны, с учётом (П7):

Как видим, последнее полученное выражение отличается малым множителем от предыдущего. Тем самым, кинетическая энергия подвеса определяется лишь кинетической энергией его вращения, и механическую энергию подвеса можно считать равной

(П9)

Дифференцируя (П9) по времени получим, с учетом (П8):

(П10)

Это уравнение гармонических колебаний, квадрат частоты которых совпадает с коэффициентом перед j:

(П11)

Период этих колебаний:

(П12)

РАБОТА № 12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

Приборы и принадлежности : маховое колесо с дополнительным грузом, штангенциркуль, технические весы, секундомер.

Цель работы : определить момент инерции махового колеса.

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе момент инерции маховика предлагается определить методом колебаний. Для этого к краю маховика прикрепляют дополнительный груз, в результате чего маховик превращается в физический маятник. Измерив период колебаний этого маятника, определяют момент инерции маховика. В самом деле, период колебаний физического маятника:

(1)

m₁

m₂

Рис. 1

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, m – его масса, d – расстояние от оси вращения до центра инерции маятника, g – ускорение свободного падения. Если обозначить через I₁ и I₂ - моменты инерции маховика и груза соответственно, а через m₁ и m₂ их массы, то I = I₁+ I₂, m = m₁+ m₂.Тогда

(2)

Отсюда получим выражение для момента инерции маховика I₁:

(3)

В данной работе дополнительный груз представляет собой цилиндр радиуса r, укреплённый на расстоянии а от оси вращения, поэтому его момент инерции относительно оси маховика равен:

(4)

Нетрудно также выразить расстояние d через величины a, m₁, m₂. В самом деле, по определению центра инерции:

(5)

откуда из (3) и (4) получаем:

(6)

Все величины, стоящие в правой части выражения (6) определяются опытным путём.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерьте 5 раз диаметр D добавочного груза, определите для каждого измерения радиус r и найдите среднее арифметическое значение радиуса .

2. Определите период колебаний махового колеса с грузом. Для этого отклоните маховое колесо на угол не больше 30⁰от положения равновесия и 5 – 7 раз определите время t десяти полных колебаний[4]. По каждому значению времени вычислите период T=t/10 и найдите среднее арифметическое значение этого периода .