ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Приборы и принадлежности: крестовина, подвешенная на проволоке из исследуемого материала, 4 цилиндрических груза, секундомер, микрометр, штангенциркуль.

Цель работы: определить модуль сдвига для стали или меди.

ВВЕДЕНИЕ

Сдвигом называется такая деформация твердого тела, при которой сохраняется его объем. Примером сдвига может служить деформация, при которой слои, параллельные некоторой плоскости – плоскости сдвига – не искривляясь и не меняя своих размеров, перемещаются параллельно друг другу.

Рис. 1

Такая деформация происходит, если, например, одну из граней параллелепипеда (нижнюю на рис. 1), закрепить неподвижно, а к противоположной грани приложить касательную силу F.

Величина x, называемая абсолютным сдвигом, различна для различных слоев, отношение же x/y постоянно. Это отношение называется относительным сдвигом и является характеристикой деформации сдвига. Из рисунка 1 видно, что x/y = tgg, а так как угол сдвига g очень мал, то tgg»g и относительный сдвиг x/y »g. Если касательная сила F распределена на площади S грани равномерно, то в каждом сечении, параллельном этой грани, возникает касательное напряжение (усилие), уравновешивающее эту силу:

Рис. 2

Согласно закону Гука, имеется прямая пропорциональность между напряжением и относительной деформацией:

s_t= – Gg, (1)

где коэффициент пропорциональности G зависит лишь от свойств материала и называется модулем сдвига.

 

В нашем опыте используется наиболее простой и точный метод определения модуля сдвига из кручения, основанный на том, что деформацию кручения всегда можно свести к неоднородной деформации сдвига (более подробно об этом смотри в Приложении к работе).

На проволоку из испытуемого материала (рис. 2) подвешивается массивное симметричное тело, масса которого значительно больше массы проволоки. Если проволоку закрутить и предоставить самой себе, то система будет совершать крутильные колебания. Период колебаний Т связан с модулем сдвига G материала проволоки, ее длиной L, радиусом r и моментом инерции I системы относительно оси вращения формулой:

, (2)

(вывод формулы (2) приводится в приложении к работе).

Зная L, r, I, Т можно определить G из формулы (2):

. (3)

Момент инерции системы I определить точно достаточно сложно. Трудность эту обходят следующим приёмом. Определяют период колебаний крестовины Т₁ с двумя симметрично расположенными грузами, затем период колебаний крестовины с четырьмя грузами Т₂. Из формулы (2) следует:

(4)

(5)

 

Вычитая (4) из (5), получим:

,

откуда

(6)

Рис. 3

В (6) I₂ – момент инерции системы, нагруженной 4-мя грузами, I ₁ - момент инерции системы, нагруженной 2-мя грузами. Тогда разность I ₂ – I₁ есть не что иное, как момент инерции 2-х грузов относительно оси вращения. Согласно теореме Штейнера:

(7)

Сумма членов в квадратных скобках – момент инерции одного цилиндра относительно оси вращения ОО' рис. 3), который складывается, согласно теореме Штейнера, из момента инерции цилиндра относительно оси вращения СС':

(8)

и произведения массы цилиндра m на квадрат расстояния d между осями ОО' и СС'.

Правая часть выражения (7) может быть вычислена на основании простых измерений и подставлена вместо разности I₂ – I ₁ в формулу (6).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерьте в нескольких местах с помощью микрометра диаметр 2r проволоки, найдите радиус проволоки r_i для каждого измерения и по ним средний радиус

2. Измерьте в нескольких местах внутренний 2R ₁ и внешний 2 R ₂ диаметры цилиндра, определите R ₁, R ₂ и по ним средние значения

3. Измерьте расстояние d от оси вращения до осей, проходящих через центр тяжести добавочных грузов. Как и ранее найдите среднее

4. Взвесьте на технических весах все четыре груза вместе. Вы получите массу четырех грузов М. Массу одного груза вы получите как m=M/4. Запишите величины массы груза и длины проволоки:

Масса груза m=

Длина проволоки L=

Таблица 1

№№пп	2r	r	2R1	R1	2R2	R2	d
…
Средние значения

5. Закрутите крестовину с двумя грузами на угол 10-15⁰ и определите t₁– время 30 колебаний крестовины нагруженной двумя грузами, а затем t ₂ – время 30 колебаний крестовины, нагруженной четырьмя грузами.

Каждое измерение проделайте не менее пяти раз, каждый раз вычисляя периоды T₁ = t₁/30 и T₂ = t ₂/30. Занесите измерения в таблицу 2.

Таблица 2

№№ пп	t1	T1	t2	T2
...
Средние значения

6. Подсчитайте величину модуля сдвига материала проволоки .

7. Определите ошибку опыта. Для вычисления ошибки в данном случае легче сначала найти относительную ошибку, а по ней – абсолютную.

Относительная ошибка, согласно (6), определяется погрешностями измерений длины L и радиуса проволоки r, периода колебаний грузов T и моментов инерции I₁ и I₂. Нетрудно, однако понять, что последние три величины измеряются с большей точностью, чем первые две. Наибольшую погрешность дает измерение радиуса проволоки, просто потому, что проволока чаще всего неровная. Эта же причина дает и сравнительно большую погрешность измерения длины проволоки. Поэтому:

(8)

Погрешность DL указана вместе с длиной L. Погрешность Dr находится обычным образом: определяются абсолютные погрешности отдельных измерений:

и находится средняя квадратичная погрешность:

Найденные погрешности подставляются в формулу (8) и вычисляется относительная погрешность:

Ответ представьте в виде:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какая деформация называется сдвигом?

2. Чему равен модуль сдвига жидкости?

3. Что представляет собой деформация кручения?

4. Докажите справедливость выражения (8) для момента инерции полого цилиндра. Указание: момент инерции сплошного цилиндра равен, как известно, mR²/2.

5. Многие конструкции делают из труб (рамы велосипедов, мотоциклов и т.п.), точно также многие кости скелета человека и позвоночных животных полые. Почему, ведь, казалось бы, тонкостенная труба значительно теряет в прочности?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

МОДУЛЬ КРУЧЕНИЯ

Рис. П1

При закручивании стержня вокруг его оси возникающая деформация является неоднородной деформацией сдвига. Это делается очевидным, если мысленно разбить стержень на ряд коаксиальных полых цилиндров. Угол сдвига g одного такого полого цилиндра (внутренним радиусом r и толщиной стенки dr) связан с углом закручивания j очевидным соотношением (см. рис. П1):

rj=Lg,

откуда

(П1)

Полученное соотношение показывает, что сдвиг является неоднородным, т.к. угол сдвига g зависит от расстояния до оси r.

Деформация стержня приводит к возникновению упругих сил в стержне, момент которых нетрудно вычислить. Согласно закону Гука напряжение s при сдвиге связано с углом сдвига g и модулем сдвига G соотношением:

s = – Gg (П2).

Поэтому момент упругих сил (момент вычисляется относительно оси цилиндра), возникающих в рассматриваемом цилиндре, равен:

dM = –s× r× dS (П3),

где dS=2pr× dr - площадь поперечного сечения цилиндра.

С учетом (П1) и (П2) dM запишется в виде:

(П4)

Интегрируя (П4) по dr получим:

(П5)

В (П5) R₁ и R ₂ - пределы интегрирования по dr. Для сплошного стержня R ₁=0, R ₂ – радиус стержня. В случае трубы R ₁ и R ₂ – внутренний и внешний радиусы трубы, соответственно. Заметим, что момент очень быстро возрастает с ростом внешнего радиуса R ₂ (M ~ R⁴). Это позволяет использовать трубы вместо стержней, практически не теряя в прочности конструкции. Действительно, даже если R ₂/R ₁=1, 5, то (R ₂/R ₁)⁴ » 6, и такая труба будет менее жёсткой, чем сплошной стержень всего на 15%, масса же такой трубы будет приблизительно вдвое меньше, чем у сплошного стержня.

Коэффициент перед (в (П5) называется модулем кручения:

(П6)

В нашем опыте мы используем проволоку, поэтому (П6) принимает вид:

(П7)

Рассмотрим тело с моментом инерции I, подвешенное на проволоке с модулем кручения K. Если телу сообщить вращение вокруг оси на угол j, то это приведет к возникновению в проволоке упругих сил с моментом

M = –Kj.

Запишем уравнение моментов для тела:

Рис. П2

(П8)

Поделив обе стороны этого уравнения ни I, придем к уравнению гармонических колебаний:

(П9)

Квадрат частоты колебаний, как известно, дается коэффициентом перед j:

(П10)

С учетом равенства (П7), получаем для периода колебаний T=2p/w:

(П11)

 

 

РАБОТА № 8

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: