ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: физический маятник, датчик угла поворота, компьютер.

Цель работы: исследовать характер затухания колебаний под действием сухого трения, определить угол застоя и момент силы трения.

ВВЕДЕНИЕ

Если на колеблющееся тело действуют силы сопротивления, то его колебания будут затухать, так как тело будет расходовать энергию на работу против этих сил. Возможны разные законы сил трения: вязкое и сухое трение.

ВЯЗКОЕ ТРЕНИЕ

В случае, когда силы сопротивления пропорциональны скорости тела (вязкое трение), зависимость отклонения его от положения равновесия x(t), как известно, следующая:

x (t) = A (t) cos (wt+a), (1)

причём амплитуда колебаний A (t) изменяется по закону

A(t) =A₀× e ^–bt. (2)

w– частота затухающих колебаний:

, (3)

w₀ – частота колебаний в отсутствие трения, a – начальная фаза, A₀ – амплитуда в начальный момент времени, b – коэффициент затухания. График колебаний изображён на рис. 1. На этом графике пунктирной линией изображена зависимость (2) амплитуды колебаний A (t) от времени.

Графики колебаний, затухающих под действием вязкого трения. Время выражено в единицах собственного периода колебаний.

Рис. 1.

Коэффициент затухания можно определить из (2), если известны A₀ и A(t):

(4).

Затухание колебаний вместо b можно характеризовать другой величиной- логарифмическим декрементом затухания l, который определяется как логарифм отношения двух амплитуд, взятых через период

(5)

Из (2) и (5) следует, что l и b связаны соотношением

l=bT (6)

Физический смысл логарифмического декремента затухания очень прост. Из (6) видно, что l можно записать как T/t, где t=1/b – время «жизни» колебаний (его также называют временем релаксации), за которое амплитуда убывает в е раз. Тогда

l = T/t = 1/N,

где N – число колебаний за время «жизни» t.

СУХОЕ ТРЕНИЕ

Помимо рассмотренного вязкого трения возможен и другой случай, когда имеет место сухое трение (или кулоновское). При сухом трении, если система находится в движении, величина силы трения почти постоянна, а её направление противоположно скорости, изменяясь всякий раз при изменении направления скорости.

В дальнейшем будем говорить о колебаниях маятника с сухим трением. Если маятник движется, то величину момента силы трения скольжения будем считать равной N_max. Если же маятник покоится, момент силы статического трения может принимать любое значение от –N_max до N_max. Из–за того, что момент силы трения покоя может принимать любые значения вплоть до N_max, по обе стороны от положения равновесия имеется интервал углов отклонения, в пределах которого трение покоя в состоянии уравновесить момент силы тяжести. Этот интервал называют зоной застоя или мёртвой зоной. Если угловая скорость маятника обращается в нуль где-либо в пределах зоны застоя, маятник останавливается и в дальнейшем покоится в этой точке.

Важная отличительная черта затухания колебаний под действием силы сухого трения заключается в том, что движение полностью прекращается после конечного числа циклов. Пока осциллятор совершает колебания, знак скорости периодически изменяется, и каждое очередное изменение направления скорости происходит при всё меньшем отклонении от средней точки зоны застоя. В конце концов точка поворота оказывается внутри зоны застоя, где трение покоя в состоянии уравновесить возвращающую силу. В этот момент движение полностью прекращается. В какой именно точке произойдёт остановка, зависит от начальных условий, которые могут меняться от случая к случаю.

Найдём закон движения маятника с сухим трением. На вращающийся маятник одновременно действуют момент силы тяжести – mgl× j и момент N_тр силы трения скольжения. Уравнение вращения маятника с моментом инерции I имеет следующий вид:

(7).

В соответствии с принятой идеализированной характеристикой сухого трения, момент силы трения скольжения N_тр направлен противоположно угловой скорости маятника , и остаётся постоянным (равным по модулю N_max)до тех пор, пока продолжается вращение маятника в одном направлении. Тем самым движение маятника описывается двумя разными уравнениями, в зависимости от направления движения маятника:

(8).

Удобно выразить N_max через максимальный угол отклонения маятника j_m, при котором он ещё может находиться в состоянии покоя:

N_max = mglj_m (9).

Очевидно, что угол j_m соответствует границе зоны застоя.

Введём ещё частоту собственных колебаний маятника:

Система уравнений (8) теперь запишется в виде:

(10).

Пусть в начальный момент t = 0 маятник повернут влево (по часовой стрелке) от положения равновесия, так что j(0) < 0. Если это начальное отклонение выходит за границу зоны застоя, т. е. |j(0)| > j_m, маятник, будучи освобождённым без толчка, т. е. с нулевой начальной скоростью, начнёт двигаться вправо (w> 0), и его движение будет описываться верхним из уравнений (9). Это уравнение приводится к виду обычного уравнения гармонических колебаний, если сделать замену переменных j+j_m = y:

(11)

Решение уравнения (11) представляет собой простое гармоническое колебание с частотой w₀:

y = y₀ × cos w₀t,

откуда найдём зависимость j от t:

j = – j_m + y₀ × cos w₀t.

Среднее положение, около которого происходят эти колебания, совпадает, как видим, с левой границей зоны застоя j_m. Это смещение среднего положения колебаний маятника вызвано постоянным моментом силы сухого трения, который действует на маятник влево (по часовой стрелке), пока он движется вправо (вращаясь против часовой стрелки).

Амплитуду колебаний, т.е. модуль величины y₀ найдём из начального условия j(0) = – j₀:

– j₀ = – j_m + y₀,

y₀ = – (j₀ – j_m), |y₀| = j₀ –j_m.

Как видим, амплитуда колебания около средней точки –j_m равна j₀ – j_m.

Первый отрезок графика таких колебаний на рис. 2 представляет собой часть синусоиды со средней точкой, смещённой вниз от оси абсцисс на расстояние – j_m. Крайнее отклонение маятника вправо (верхняя часть синусоиды) в конце первого полупериода колебаний равно:

j₀ – 2j_m.

Графики колебаний, затухающих под действием сухого трения. Время выражено в единицах собственного периода колебаний. Пунктирная линия изображает зависимость амплитуды от времени.

Рис. 2.

Когда маятник достигает этого положения, его угловая скорость обращается в нуль. Затем он начинает двигаться назад, т.е. влево. Поскольку при этом его угловая скорость отрицательна, мы должны перейти ко второму уравнению (10). Значения и j в конце предыдущего полупериода служат начальными условиями для дальнейшего движения. Это движение опять представляет собой половину цикла гармонического колебания той же самой частоты w₀, но средняя точка колебаний теперь смещена к правой границе зоны застоя j_m. Амплитуда соответствующего сегмента синусоиды равна j₀ – 3j_m. Продолжая дальше такой анализ движения, мы заключаем, что в последующие полупериоды маятник совершает гармонические колебания около средних точек, поочерёдно смещённых к границам мёртвой зоны j_m и — j_m. Каждому полупериоду соответствует одна и та же частота w₀ (частота собственных колебаний в отсутствие трения). Поэтому длительность каждого цикла затухающих колебаний равна периоду Т₀ = 2p/w₀собственных колебаний осциллятора в отсутствие трения.

Сшивание синусоидальных сегментов, средние точки которых поочерёдно смещены к правой и левой границам мёртвой зоны, даёт всю кривую процесса затухания колебаний под действием сухого трения, показанную на рис. 2. После каждого полного цикла таких колебаний максимальное отклонение маятника уменьшается на одну и ту же величину, равную удвоенной ширине зон застоя (т. е. на величину 4j_m). Колебания продолжаются до тех пор, пока конечная точка очередного сегмента синусоиды не окажется внутри зоны застоя (—j_m, j_m).

Таким образом, в случае затухания под действием сухого трения максимальные отклонения маятника убывают по линейному закону (см. рис. 2). Последовательность максимальных отклонений образует убывающую арифметическую прогрессию, и колебания полностью прекращаются через конечное число циклов, в противоположность случаю вязкого трения, когда максимальные отклонения убывают в геометрической прогрессии (экспоненциально) и формально движение продолжается бесконечно долго.

Следует иметь в виду, что рассмотренные нами виды затухания колебаний всегда существуют одновременно. Причём при сравнительно больших амплитудах колебаний основную роль может играть сила вязкого трения. При малой амплитуде вязкое трения также делается малым и преобладающая роль в затухании колебаний переходит к сухому трению. Поэтому график колебаний, можно сказать, «склеен» из двух графиков: на завершающем участке колебания затухают под действием сухого трения и их амплитуда убывает по линейному закону, на начальном участке, если амплитуда была достаточно велика, амплитуда убывает по экспоненциальному закону.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: