Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

 

 

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

Часть 1. Основы математического анализа
§ 1 Функция

1. Основные определения.

О1. Функцией называется закон, по которому каждому значению независимой переменной , называемой аргументом, ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной , называемой функцией: , где – закон соответствия.

Пример 1. .

О2. Областью определения функции (ООФ: ) называется множество допустимых действительных значений аргумента, при которых функция имеет смысл в области вещественных чисел; множество значений, которые при этом принимает функция, называется ее областью значений ( ).

О3. Геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – значению функции, называется графиком функции.

 

О4. Если выполняется равенство , то функция называется четной, а при выполнении равенства – нечетной.

О5. Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида.

Пример 2. – четные функции;

– нечетные функции;

– функции общего вида.

О6. Функция называется периодической, если существует такое вещест-венное число , что выполняется равенство , при этом меньшее положительное число , при котором выполняется указанное равен-ство, называется периодом функции.

Пример 3. , так как .

О7. Функция называется возрастающей ( ) на интервале , который в дальнейшем будем называть сегментом, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции ( Рис. 54 ).

Рис. 54. Пример возрастающей на сегменте

функции.

при выполняется

О8. Функция называется убывающей ( ) на интервале , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( Рис. 55 ).

 

Рис. 55. Пример убывающей на сегменте

функции.

 

при выполняется

О9. Возрастающие или убывающие на сегменте функции объединяются под общим названием монотонные функции.

Пример 4. Указать интервалы монотонности функции на сегменте .

Из рисунка видно, что и .

 

О10. Если на сегменте функция не меняет своего значения, то она называется постоянной ( Рис. 57 ).

 

 

 

Рис. 57. Постоянная функция.

 

Другие определения теории функций действительной переменной будут вво-диться ниже по мере необходимости.

2. Обратная функция.

Пусть задана функция . Если график этой функции пересекает ось абсцисс ( ) в единственной точке, то можно найти такой закон, по которому каждому значению переменной будет поставлено в соответствие единственное значение переменной , т.е. . Такой закон соответствия называется обратной функцией.

Пример 5. Найти обратную функцию к функции .

Выразив переменную из этого равенства, найдем обратную функцию .

3. Способы задания функции.

Функция может быть задана одним из следующих способов:

– аналитический, т.е. в виде аналитической формулы (например, );

– графический, т.е. в виде графика для всех значений аргумента из ;

– табличный, т.е. в виде таблицы

 

– словесный, т.е. функция задается на каждом интервале разными аналитическими формулами, графиком или таблицей, например, .

 

4. Сложные функции.

Пусть дана функция , где .

О11. Функция вида сложной функцией, а операция ее образования композицией функций или взятием функции от функции.

О12. Функция называется внутренней, а функция – внешней функциями.

Пример 6. . В данном примере внутренней функцией является , а внешней функцией будет .

Пример 7. . Внутренней функцией будет , а внешней функцией является возведение в квадрат.

Теория пределов

1. Предел последовательности.

О1. Если область определения функции представляет собой ряд натуральных чисел, то область называется естественной.

О2. Область значений функции , расположенная в порядке возрастания номера , называется последовательностью и обозначается .

Пример 1.

.

О3. Число называется пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что имеет место неравенство или в другой форме записи .

Приведенное в определении неравенство с модулем можно преобразовать к виду или .

Рис.58. Предел после-

довательности.

Пример 2. Дана последовательность . Доказать, что пределом этой последовательности является число .

Возьмем произвольное положительное число . Найдем такое номер , чтобы выполнялось неравенство , т.е. или . Так как , то знак модуля можно снять . Отсюда . Если положить , то , т.е. начиная с номера все

 

члены данной последовательности будут попадать в полосу или окончательно . Отметим, что уменьшение числа приводит к более узкой полосе внутрь которой попадают члены последовательности, начиная с номера .

2. Предел функции.

О4. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

О5. Интервал, симметричный относительно точки ( ), называется ее -окрестностью.

О6. Если областью определения функции есть множество , то точка называется точкой сгущения, если для любого числа выполняется неравенство при .

З1. Отметим, что точка может и не принадлежать области .

О7. Если функция определена на множестве с точкой сгущения , то число называется пределом функции при , если для любого из выполнения неравенства следует выполнение неравенства для любого положительного числа .

Обозначение: .

З2. В качестве точки может выступать и бесконечно удаленная точка.

Пример 3. Найти предел функции при .

Перепишем функцию в виде и построим ее график при (Рис. 59).

 

 

Рис. 59. График функции при .

 

Из рисунка видно, что , т.е. при выполняется неравенство . Следовательно , отсюда получаем . Итак, если , то . Из рисунка видно, начиная с некоторого значения все значения функции лежат в интервале .

 

О8. Функция называется ограниченной снизу, если выполняется неравенство ( ).Функция называется ограниченной сверху, если выполняется неравенство ( ). Функция называется ограниченной, если такие, что выполняется неравенство .

Пример 4. Ограничена ли функция ?

Так как , то эта функция ограниченная, причем , .

Пример 5. Найти предельное значение функции при .

Построим график заданной функции (Рис. 60):

 

 

 

Рис. 60. График функции при .

 

Из рисунка видно, что при отношение ограниченной функции ( ) к возрастающей по модулю функции ( ) стремится к нулю, следовательно, предельное значение заданной функции .

3. Односторонние пределы.

О9. Число называется левосторонним пределом функции при стремлении к слева ( ), если для любого существует такое , что выполняется неравенство или

.

О10. Число называется правосторонним пределом функции при стремлении к справа ( ), если для любого существует такое , что выполняется неравенство или

.

Пример 6. Найти лево- и правосторонние пределы функции .

С учетом определения модуля данную функцию можно записать в виде

. Построим график этой функции (Рис. 61):

 

Рис. 61. График функции .

Из рисунка видно, что левосторонний предел , а правосторонний предел .

Пример 7. Вычислить односторонние пределы функции при .

При (слева) знаменатель дроби стремится к малой отрицательной величине, следовательно, сама дробь стремится к . При (справа) знаменатель дроби стремится к малой положительной величине, следовательно, сама дробь стремится к . Таким образом, левосторонний предел , а правосторонний предел .

Пример 8. Найти лево- и правосторонние пределы при .

При (слева) знаменатель дроби, стоящей в показателе степени экспоненты, стремится к малой отрицательной величине, следовательно, сама дробь стремится к . Если аргумент показательной функции с основанием большим единицы стремится к , то сама функция (см. график показательной функции в §1 ). При (справа) знаменатель дроби, стоящей в показателе степени экспоненты, стремится к малой положительной величине, следовательно, сама дробь стремится к . Если аргумент показательной функции (основание больше единицы) стремится к , то сама функция (см. график показательной функции в §1 ). Таким образом, левосторонний предел , а правосторонний предел .

 

 

Результаты исследования заносят в сводную таблицу (см. Пример 7).

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

 

 

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

Часть 1. Основы математического анализа
§ 1 Функция

1. Основные определения.

О1. Функцией называется закон, по которому каждому значению независимой переменной , называемой аргументом, ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной , называемой функцией: , где – закон соответствия.

Пример 1. .

О2. Областью определения функции (ООФ: ) называется множество допустимых действительных значений аргумента, при которых функция имеет смысл в области вещественных чисел; множество значений, которые при этом принимает функция, называется ее областью значений ( ).

О3. Геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – значению функции, называется графиком функции.

 

О4. Если выполняется равенство , то функция называется четной, а при выполнении равенства – нечетной.

О5. Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида.

Пример 2. – четные функции;

– нечетные функции;

– функции общего вида.

О6. Функция называется периодической, если существует такое вещест-венное число , что выполняется равенство , при этом меньшее положительное число , при котором выполняется указанное равен-ство, называется периодом функции.

Пример 3. , так как .

О7. Функция называется возрастающей ( ) на интервале , который в дальнейшем будем называть сегментом, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции ( Рис. 54 ).

Рис. 54. Пример возрастающей на сегменте

функции.

при выполняется

О8. Функция называется убывающей ( ) на интервале , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( Рис. 55 ).

 

Рис. 55. Пример убывающей на сегменте

функции.

 

при выполняется

О9. Возрастающие или убывающие на сегменте функции объединяются под общим названием монотонные функции.

Пример 4. Указать интервалы монотонности функции на сегменте .

Из рисунка видно, что и .

 

О10. Если на сегменте функция не меняет своего значения, то она называется постоянной ( Рис. 57 ).

 

 

 

Рис. 57. Постоянная функция.

 

Другие определения теории функций действительной переменной будут вво-диться ниже по мере необходимости.

2. Обратная функция.

Пусть задана функция . Если график этой функции пересекает ось абсцисс ( ) в единственной точке, то можно найти такой закон, по которому каждому значению переменной будет поставлено в соответствие единственное значение переменной , т.е. . Такой закон соответствия называется обратной функцией.

Пример 5. Найти обратную функцию к функции .

Выразив переменную из этого равенства, найдем обратную функцию .

3. Способы задания функции.

Функция может быть задана одним из следующих способов:

– аналитический, т.е. в виде аналитической формулы (например, );

– графический, т.е. в виде графика для всех значений аргумента из ;

– табличный, т.е. в виде таблицы

 

– словесный, т.е. функция задается на каждом интервале разными аналитическими формулами, графиком или таблицей, например, .

 

4. Сложные функции.

Пусть дана функция , где .

О11. Функция вида сложной функцией, а операция ее образования композицией функций или взятием функции от функции.

О12. Функция называется внутренней, а функция – внешней функциями.

Пример 6. . В данном примере внутренней функцией является , а внешней функцией будет .

Пример 7. . Внутренней функцией будет , а внешней функцией является возведение в квадрат.

Теория пределов

1. Предел последовательности.

О1. Если область определения функции представляет собой ряд натуральных чисел, то область называется естественной.

О2. Область значений функции , расположенная в порядке возрастания номера , называется последовательностью и обозначается .

Пример 1.

.

О3. Число называется пределом последовательности , если для любого существует такой номер , что имеет место неравенство или в другой форме записи .

Приведенное в определении неравенство с модулем можно преобразовать к виду или .

Рис.58. Предел после-

довательности.

Пример 2. Дана последовательность . Доказать, что пределом этой последовательности является число .

Возьмем произвольное положительное число . Найдем такое номер , чтобы выполнялось неравенство , т.е. или . Так как , то знак модуля можно снять . Отсюда . Если положить , то , т.е. начиная с номера все

 

члены данной последовательности будут попадать в полосу или окончательно . Отметим, что уменьшение числа приводит к более узкой полосе внутрь которой попадают члены последовательности, начиная с номера .

2. Предел функции.

О4. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

О5. Интервал, симметричный относительно точки ( ), называется ее -окрестностью.

О6. Если областью определения функции есть множество , то точка называется точкой сгущения, если для любого числа выполняется неравенство при .

З1. Отметим, что точка может и не принадлежать области .

О7. Если функция определена на множестве с точкой сгущения , то число называется пределом функции при , если для любого из выполнения неравенства следует выполнение неравенства для любого положительного числа .

Обозначение: .

З2. В качестве точки может выступать и бесконечно удаленная точка.

Пример 3. Найти предел функции при .

Перепишем функцию в виде и построим ее график при (Рис. 59).

 

 

Рис. 59. График функции при .

 

Из рисунка видно, что , т.е. при выполняется неравенство . Следовательно , отсюда получаем . Итак, если , то . Из рисунка видно, начиная с некоторого значения все значения функции лежат в интервале .

 

123456Следующая ⇒

Поделиться: