Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков

1. Дифференциал функции. Его свойства и геометрический смысл.

Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки , т.е. существует конечный предел . Так как предел конечен, то можно записать приращение функции в виде , где – бесконечно малая функция в изучаемой окрестности данной точки. Сравним первое и второе слагаемые с бесконечно малой функцией . Для первого слагаемого имеем , т.е. оно является бесконечно малой функцией того же порядка малости, что и величина . Для второго слагаемого получаем, что , т.е. оно является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем величина . Это означает, что первое слагаемое является главной частью указанной суммы.

О1. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента , называется дифференциалом функции:

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Используя определение, находим .

Если , то ее дифференциал . Следовательно, дифференциал аргумента равен его приращению. Отсюда получаем, что дифференциал функции можно записать в виде . Таким образом, для производной можно ввести новую формулу . Такая форма записи производной очень удобна для вывода различных формул.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции (Рис. 75):

Рис. 75. Геометрический смысл

дифференциала.

Из рисунка видно, что дифференциал функции с геометрической точки зрения описывает приращение касательной прямой при приращении аргумента .

2. Применение дифференциала функции.

Пусть дана функция , тогда при приращении аргумента функция получает приращение .

Это приближенное равенство позволяет по виду функции и известному значению функции в заданной точке вычислить значение функции в приращенной точке:

З1. Полученное приближенное равенство тем точнее дает значение функции в приращенной точке, чем меньше приращение аргумента.

Пример 3. Вычислить .

В данном примере задана функция . В качестве точки выбираем значение , из которого легко извлекается квадратный корень: . Приращенной точкой является точка . Таким образом, приращение аргумента равно . Производная от заданной функции согласно таблице производных . Следовательно, .

Пример 4. Вычислить .

В этом примере .

Следовательно, .

3.Дифференциалы и производные высших порядков.

Пусть дана функция , тогда согласно определению ее дифференциал равен . Дифференциал аргумента равен его приращению и не зависит от переменной . Однако производная функции в общем случае является функцией аргумента . В связи с этим дифференциал функции является функцией аргумента . Следовательно, можно поставить вопрос о дифференцируемости дифференциала функции.

О2. Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом функции, т.е.

О3. Производная от первой проризводной функции называется второй производной функции, т.е. .

Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков:

и так далее.

З2. Отметим, что обозначение производной, начиная с четвертой, берется в скобки.

З3. Производные высших порядков могут быть записаны в виде

и т. д.

Пример 5. Найти второй дифференциал функции .

Используя формулу для второго дифференциала, найдем вторую производную от заданной функции . Следовательно, второй дифференциал равен .

Пример 6. Найти -ую производную от функции .

Вычислим последовательно первую , вторую и третью производные . Используя последовательное дифференцирование, найдем -ую производную от функции :

О4. Произведение чисел от до , равное , называется факториалом.

Пример 7. Найти -ую производную от функции .

Вычислим последовательно первую , вторую и третью произ-

водные . Таким образом, -ая производная от функции равна самой функции.

4. Правило Лопиталя.

Т4. Если функции и непрерывны на сегменте , дифференцируемы на открытом интервале и при одновременно стремятся к нулю или бесконечности ( и ), то для раскрытия неопределенности применяется формула

З2. Теорема Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида или . Для раскрытия других типов неопределенностей, они должны путем тождественных преобразований вначале приведены к одной из двух указанных неопределенностей, после чего можно применять правило Лопиталя.