По данным таблицы строят схематичный график функции.

Пример 7. Исследовать и построить схематичный график функции .

Используя схему исследования графика функции с помощью производных, найдем:

1. .

2. Найдем точки пересечения графика функции с координатными осями

, т.е. – точка пересечения с осью абсцисс;

, т.е. – точка пересечения с осью ординат.

3. Вычислим – функция общего вида.

4. Функция непериодическая.

5. Найдем первую производную функции , которая существует на всей числовой оси, следовательно, найдем критические точки, решая уравнение . Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак первой производной на каждом интервале

– +

–1

Из рисунка видно, что и . Так как при пе-реходе слева направо через точку первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то в этой точке наблюдается минимум. Вычислим значение функции в минимуме .

6. Найдем вторую производную функции , которая существует на всей числовой оси, следовательно, найдем точки, подозрительные на перегиб, решая уравнение . Отложим найденную точку на числовой оси и определим знак второй производной на каждом интервале

– +

–2

 

Из рисунка видно, что и . Так как при переходе слева направо через точку вторая производная меняет свой знак, то в этой точке наблюдается точка перегиба. Вычислим значение функ-ции в точке перегиба .

7. Найдем асимптоты графика функции, для чего вычислим угловой коэффициент прямой . Таким образом, при асимптот нет, а при возможна горизонтальная асимптота. Вычислим параметр . Следовательно, график заданной функции имеет горизонтальную асимптоту .

8. Построим сводную таблицу

Интервал

– точка пересечения с координатными осями.

– горизонтальная асимптота.

9. Построим схематичный график функции, выбрав по координатным осям разные масштабы измерения

 

 

 

 

 

-2 -1

 

 

- 0.27

 

- 0.37

 

“Неопределенный интеграл и его свойства”

1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

При решении многих практических задач таких, как вычисление длин линий, площадей, отыскание траекторий движения и других, вводится понятие интегрирования.

О1. Первообразной функции называется такая функция , первая производная от которой равна заданной функции, т.е. .

Т1. (о существовании первообразной) Если функция непрерывна на сегменте , то на этом интервале существует первообразная этой функции.

Т2. Если – первообразная функции , то функция ( – произвольная постоянная) также является первообразной функции .

Т3. Если и первообразные функции , то они отличаются друг от друга на постоянную величину.

Пример 1. Пусть дана функция . Найти первообразную этой функции. В случае наличия двух первообразных показать, что они отличаются на постоянную величину.

Для функции существуют две первообразные и . Их разность .

О2. Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается , где – переменная интегрирования, – подинтегральная функция, – подинтегральное выражение.

На основании Т2 и Т3 можно записать, что .

О3. Отыскание всех первообразных называется неопределенным интегрированием.

 

Выясним геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть дана функция и требуется найти такую кривую , для которой в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной равен значению функции в этой точке. Такой линией будет кривая, для которой . Таким образом, неопределенный интеграл определяет все кривые, у которых тангенс угла наклона в каждой ее точке совпадает со значением функции .

2. Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению .

3. Если подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции , то неопределенный интеграл равен .

4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же самой линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций .

Частные случаи:

а) неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций

.

б) постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла .

5. Формула неопределенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования .

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

Подынтегральная функция	Неопределенный интеграл	Частные случаи
Степенная
Показательная
Тригонометрические

Пример 3. Используя таблицу неопределенных интегралов, вычислить интегралы (самостоятельно).

“Методы интегрирования”

1. Метод тождественных преобразований подынтегральной функции.

Данный метод основан на использовании простых приемов, алгебраических и тригонометрических формул, свойств подынтегральной функции, разложения полиномов на простые множители и свойств неопределенного интеграла. Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

1. Почленное деление числителя дроби на ее знаменатель .

 

Пример 1. Найти .

Выполним в подынтегральной функции почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла

.

2. Использование противоположных арифметических операций (например, сложение-вычитание).

Пример 2. Найти .

Анализ подынтегральной функции показывает, что в числитель дроби надо добавить и вычесть 1 (при этом подынтегральная функция не изменится), а затем воспользоваться первым приемом (почленное деление числителя дроби на ее знаменатель)

.

3. Использование алгебраических и тригонометрических формул, например,

и других формул.

Пример 3. Найти .

Воспользуемся формулой квадрата разности

.

Пример 4. Найти .

Поступим аналогично примеру 3

.

4. Использование свойств функций, например,

.

Пример 5. Вычислить .

.

Пример 6. Вычислить .

.

5. Использование разложения многочленов на простые множители, например, , где и корни уравнения .

Пример 7. Найти .

По теореме Виета уравнение имеет корни и , следовательно, разложение квадратичного многочлена на простые множители имеет вид: . Подставим полученное выражение в подынтегральную функцию, получим

.

2. Метод замены переменной интегрирования.

Данный метод основан на формуле .

Метод замены переменной интегрирования применяется в двух случаях:

а) Если аргумент функции отличается от простого аргумента , то этот сложный аргумент принимается в качестве новой переменной интегрирования .

Пример 8. Вычислить .

Так как показатель степени экспоненты отличается от простого аргумента , то этот показатель степени принимаем в качестве новой переменной интегрирования, т.е. .

З4. После нахождения первообразной с новой переменной интегрирования надо обязательно вернуться к старой переменной интегрирования.

Пример 9. Вычислить .

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом степенной функции и отличается от простого аргумента , поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

.

Пример 10. Вычислить .

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом функции синус и отличается от простого аргумента , поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

.

б) Если элементарная функция, содержащаяся в подынтегральном выражении, имеет простой аргумент и в качестве множителя при присутствует первая производная этой функции, то в качестве новой переменной интегрирования принимается эта элементарная функция.

Пример 11. Найти .

В подынтегральном выражении содержится элементарная функция и в качестве множителя при присутствует ее первая производная , следовательно, в качестве новой переменной интегрирования принимаем :

.

Пример 12. Найти .

Данный пример объединяет первый метод с методом замены переменной интегрирования. Выполним почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и разобьем интеграл на два интеграла, для которых применяются два случая замены переменной интегрирования

.

З5. Умение отыскивать подходящую замену вырабатывается в процессе многократных упражнений, однако можно указать ряд случаев, когда можно сразу увидеть необходимую замену переменной интегрирования при анализе подынтегрального выражения, например,

.

Из показанных примеров видно, что умение хорошо интегрировать зависит от хорошего знания таблицы производных от элементарных функций.

3. Метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на использовании формулы дифференциала от произведения двух функций , откуда находим, что произведение . Таким образом, для неопределенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид:

.

Для того чтобы знать, какую из функций принимать за (все остальное в

подынтегральном выражении принимается за ), рассмотрим наиболее час-

 

то встречающиеся случаи:

1. , где – многочлен порядка .

В этом случае .

З6. Для нахождения функции используют определение дифференциала функции. При вычислении функции интегрируют выражение , при этом постоянная интегрирования полагается равной нулю ( ). После выполнения этих действий применяют формулу интегрирования по частям.

Пример 13. Вычислить .

Применим метод интегрирования по частям

.

З7. Из приведенного примера видно, что при необходимости метод интегрирования по частям применяется повторно.

2. Для интегралов вида .

Пример 14. Вычислить .

Действуя согласно методике, получим

.

3. Для интегралов вида , которые называются возвратными, на первом шаге интегрирования безразлично, какую из функций (показательную или тригонометрическую ) принимать в качестве функции . Однако на втором шаге в качестве функции надо обязательно принимать ту из функций (показательную или тригонометрическую ), которая была принята на первом шаге, в противном случае интеграл возвращается к своему исходному виду при отсутствии проинтегрированной части.

Пример 15. Найти .

(если сейчас в качестве функции выбрать экспоненту, то интеграл вернется к своему первоначальному виду при отсутствии проинтегрированной части; убедитесь в этом самостоятельно)

. Решим полученное уравнение относительно буквы : ; . Отсюда находим, что .

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: