Статистическое распределение выборки и показатели, рассчитываемые на его основе.

Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности (объемом N), представляющей различные реализации изучаемого признака (случайной величины) Х, извлечена выборка объемом n, причем х₁ встречается n₁ раз, х₂ - n₂ раз, …, х_k - n_k раз, и .

Значения x_i называют вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом [1]. Числа n_i называют абсолютными частотами или просто частотами, а их отношения к объему выборки

- относительными частотами или частостями.

Наряду с частотами и относительными частотами выделяют также накопленные частоты - число наблюдений, в которых значения изучаемого признака не превосходят x_i. Накопленные частоты определяются следующим образом:

Статистическим распределением выборки ( статистическим рядом ) называют перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот, в данном случае распределение будет интервального типа.

Статистическое распределение выборки может быть представлено в аналитической, табличной и графической формах.

Одной из аналитических форм представления статистического распределения выборки является эмпирическая функция распределения, определяющая для каждого значения x_i относительную частоту события , т.е.

.

Статистическое распределение выборки можно представить в табличной форме.

Таблица 1

Табличная форма представления

Статистического распределения выборки

xi	x1	x2		xk
ni	n1	n2		nk
wi	w1	w2		wk

 

К графическим формам представления статистического распределения выборки относятся полигон, гистограмма и др.

Полигоном частот ( относительных частот ) называют ломанную с вершинами в точках, первая координата которых x_i, а вторая - n_i (или w_i – в случае полигона относительных частот).

Гистограммой частот ( относительных частот ) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат величины интервалов h_i, а высоты равны частотам или относительным частотам в случае равных интервалов, и плотности частоты, т.е. отношению (или в случае гистограммы относительных частот) в случае неравных интервалов. Площадь гистограммы частот характеризует объем выборки.

Пример. Построить эмпирическую функцию, полигон и гистограмму частот по следующему распределению выборки.

 

xi
ni

Решение.

xi
ni
wi

 

 

Средние величины

 

Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений исследуемого количественного признака.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Определить среднюю величину признака во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) – отношение суммарного значения усредняемого признака к объему совокупности.

В статистике используют различные формы средних величин. При решении практических задач наиболее часто используют следующие:

1. Средняя степенная [2]:

В зависимости от значения m (-1; 0; 1; 2; …) получают соответственно среднюю гармоническую, среднюю геометрическую, среднюю арифметическую, среднюю квадратическую и т.д.

2. Средняягармоническая (m = -1):

3. Средняя геометрическая [3] (m = 0):

,

где .

4. Средняя арифметическая (m = 1):

Средняя арифметическая является наиболее распространенной средней величиной. Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

4.1. Средняя арифметическая постоянной величины равна самой постоянной величине.

4.2. Сумма произведений вариант на соответствующие им частоты равна произведению средней арифметической на сумму частот:

.

4.3. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

.

4.4. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшится) во столько жераз:

,

,

где с ≠ 0 – const.

4.5. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшится) на то жечисло:

,

где с – const.

4.6.. Если все частоты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится:

,

,

где с ≠ 0 – const.

4.7. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

.

4.8. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:

,

где - средняя арифметическая i-ой группы;

l – количество групп, рассматриваемого ряда;

l_i – число вариант i-ой группы;

n_ij – частота j-ой варианты, принадлежащей i-ой группе.

Необходимо различать среднюю арифметическую генеральной совокупности (генеральная средняя) и выборки (выборочная средняя). Последняя рассчитывается оп опытным (выборочным) данным и является точечной оценкой генеральной средней арифметической. В дальнейшем генеральную среднюю арифметическую будем обозначать , а выборочную - .

5. Средняяквадратическая (m = 2):

Средние гармоническая, геометрическая, арифметическая, квадратическая и др. средние степенные связаны между собой следующим образом:

Таким образом, с увеличением порядка m значение средней величины возрастает, т.е. средние степенные более высоких порядков доминируют над средними степенными более низких порядков. Данное свойство средних величин называют свойством мажорантности (доминирования) средних.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: