Построение сгруппированного и интервального статистических рядов

Анализируя выборку, необходимо построить вариационный ряд.

Определение 1.6 Вариационный ряд – это элементы выборки, расположенные в порядке неубывания признака.

Построение сгруппированного статистического ряда

 

При построении сгруппированного статистического ряда составляется таблица, в которой указываются значения случайной величины а_i и соответствующие им частоты m_i или частости m_i / n.

Построим таблицу 1.1.

Таблица 1.1 – Статистический закон распределения дискретной случайной
величины

Значения с.в. аi	а1	а2	…	аk
Частоты mi	m1	m2	…	mk
Относительные частоты mi / n	m1 / n	m2 / n	…	mk / n

В таблице 1.1:

n – объем выборки;

а_i – различные значения исследуемой с.в., ;

m_i – частота – количество значений а_i в выборке, ;

m_i / n – относительная частота значения а_i, .

Построение интервального статистического ряда

При построении интервального статистического ряда составляется таблица, в которой указываются границы интервалов [c_i; c_{i +1}) и соответствующие им частоты m_i или частости m_i / n.

Итак, все наблюдаемые значения случайной величины Х находятся на отрезке [x_min; x_max]. Разобьем этот отрезок на k ячеек (интервалов). Величину k можно вычислить по формуле Стерджесса:

 

.

Полученное значение k округляется до наибольшего целого, при этом учитывается, что для величины k должно выполняться неравенство 5 ≤ k ≤ 15.

Длина h одной ячейки ,

где R – размах выборки (для удобства вычислений значение h можно округлять).

Теперь можно вычислить границы ячеек:

c₁ = x_min, c₂ = c₁ + h, c₃ = c₂ + h, …, c_{k + 1} = c_k + h (c_{k + 1} ≥ x_max).

Cоставим таблицу 1.2.

 

Таблица 1.2 – Статистический закон распределения непрерывной

Случайной величины

Ячейки [ci; ci +1)	[c1; c2)	[c2; c3)	…	[ck; ck +1)
Частоты mi	m1	m2	…	mk
Относительные частоты mi / n	m1 / n	m2 / n	…	mk / n

В таблице 1.2:

n – объем выборки; [c_i; c_i+1) – i-я ячейка, ; m_i – частота – количество элементов в выборке, попадающих в i-ю ячейку, ; m_i / n – относительная частота, .

Для наглядности статистические законы распределения дискретной и непрерывной с.в., записанные в таблицах 1.1 и 1.2, изображаются графически в виде полигона частот (или частостей) и гистограммы соответственно.

Характеристики выборки

 

1. Размах. Размахом, R, (вариационным размахом) называется разность между наибольшими и наименьшими значениями х_i в выборке:

(1.1)

2. Длина интервала определяется по формуле Стерджесса (либо задается в условии задания)

(1.2)

3. Мода.

Для оценивания по выборочным данным моды распределения, используется то значение х_i сгруппированного статистического ряда, которому соответствует наибольшее значение частоты. По интервальному статистическому ряду определяется модальный интервал, в который попало наибольшее число элементов выборки, и в качестве точечной оценки моды может использоваться среднее значение этого интервала.

 

4. Медиана. Медианой, m, называется такое среднее значение х_m, которое делит ранжированную совокупность значений х_i на две равные по количеству х_i части. В одной части х_i > х_m, а в другой х_i < х_m. При четных значениях n:

= (x_n/2 + x_n/2+1)/2 (1.3)

При нечетных значениях n:

= x_(n+1)/2.(1.4)

5. Среднее значение. В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюденных значений. Эта статистика называется выборочным средним.

. (1.5)

Существуют и другие виды средних.

Величина (х_i - ) называется отклонением х_i от средней арифметической, причем (x_i- ) = 0.

6. Степень рассеяния случайных величин относительно средней арифметической характеризуется дисперсией (s² - для генеральной совокупности, s²- для выборки):

s ² = (1.6)

7.Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратичным отклонением или стандартом и является оценкой экспериментальной ошибки:

s = . (1.7)

 

8. Оценка коэффициента асимметрии (скошенности)

. (1.8)

 

Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.

Если , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева; если - справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором - правосторонней.

 

9. Оценка коэффициента эксцесса (островершности)

 

. (1.9)

Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением.

Коэффициент эксцесса для случайной величины, распределенной по нормальному закону, равен нулю.

Поэтому за стандартное значение выборочного коэффициента эксцесса принимают . Если , то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой; если , то полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: