Законы Стефана — Больцмана и смещения Вина

Из закона Кирхгофа (см. (198.1)) следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории тепло­вого излучения.

Австрийский физик Й. Стефан (1835—1893), анализируя экспериментальные дан­ные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости от тем­пературы. Согласно закону Стефана — Больцмана,

т. е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; — постоянная Стефана — Больцмана: ее экспери­ментальное значение равно

Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из эксперимен-

ных температурах (рис. 287) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости и осью абсцисс, пропорциональна энер-

гетической светимости черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больц­мана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин (1864—1928), опираясь на законы термо- и электродинами­ки, установил зависимость длины волны соответствующей максимуму функции

от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

т. е. длина волны соответствующая максимальному значению спектральной

плотности энергетической светимости черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, — постоянная Вина; ее экспериментальное значе­ние равно Выражение (199.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при

понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинновол­новое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла, )

Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамичес­кий подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зави­симости принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, восполь­зовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где — средняя энергия осциллятора с собственной частотой Для осцил-

лятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы (см. § 50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефа­на — Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Дейст­вительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

 

 

в то время как по закону Стефана — Больцмана пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катаст­рофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

г де — спектральная плотность энергетической светимости черного тела,

С и А — постоянные величины. В современных обозначениях с использованием по-

стоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Плавком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося поло­жения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изме­няться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

где — постоянная Планка. Так какизлучение испускается порци-

ями, то энергия осциллятора может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии

В данном случае среднюю энергию осциллятора нельзя принимать равной В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состоя­ниям подчиняется распределению Больцмана (§ 45), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседа­нии Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т. е. при (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией

теплового движения kТ), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана — Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную Формула для преоб-

разуется к виду

где так как Такимобразом, действительно формула

Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений дает для постоянной Стефана — Больцмана

значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными.

Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

откуда

Значение при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту произ-

водную. Тогда, введя получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает х=4, 965. Следовательно, откуда

т. е. получили закон смещения Вина (см. (199.2)).

Из формулы Плавка, зная универсальные постоянные можно вычислить

постоянные Стефана — Больцмана и Вина С другой стороны, зная эксперимен­тальные значения можно вычислить значения (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с эксперименталь­ными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революцион­ной квантовой гипотезе Планка.

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться: