Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции в точке

1). Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть

Можно сформулировать ещё одно определение непрерывной в точке функции, опираясь при этом на понятие приращения аргумента и приращения функции.

Пусть функция y=f(x) также определена в точке x₀и в её окрестности. Введём в рассмотрение произвольную точку x из окрестности точки x₀. Для точки х₀ и точки х существуют соответствующие значения функции f(x₀) и f(x).

Разность х-х₀ обозначается ∆ х и называется приращением аргумента, т.е. ∆ х=х-х₀.

Разность соответствующих значений функции f(x) – f(x₀) обозначается ∆ f и называется приращением функции, т.е. ∆ f= f(x) – f(x₀) или ∆ f= f(x₀+∆ х) – f(x₀).

Тогда приведённое выше определение непрерывной в точке функции можно преобразовать. А именно, если х→ х₀, то х–х₀→ 0

т.е. ∆ х→ 0; если , то , т.е. . В итоге получаем новое определение непрерывной в точке функции.

2). Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, или:

Непрерывность функции на промежутке

Функция y=f(x) называется непрерывной на некотором промежутке (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки разрыва функции

Точка х₀, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, т.е. не принадлежащая ей, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции. Поскольку существование предела функции в точке подразумевает существование равных односторонних пределов функции в этой точке, то условие непрерывности можно переписать в виде:

Приведённые равенства подразумевают выполнение трёх условий:

1). функция y=f(x) определена в точке х₀ и в окрестности этой точки;

2). функция y=f(x) имеет конечный предел в точке х₀, т.е. существуют конечные, равные между собой два односторонних предела;

3). предел функции в точке х₀ равен значению функции f(x₀) в этой точке.

В точке разрыва функции может нарушаться одно или два из этих равенств. В зависимости от того, какое равенство нарушено, все точки разрыва функции делятся на точки разрыва I и II рода.

Точка х₀ называется точкой разрыва I рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы функции , но при этом:

1. если А1 = А2 ≠ f(x₀), то точка x₀ называется точкой устранимого разрыва функции;

2. если А1 ≠ А2, то точка х0 называется точкой конечного (неустранимого) разрыва функции. В точке х0 функция может быть как определена, так и не определена.

Величину │ А1 – А2│ называют скачком функции.

Точка х0 называется точкой разрыва II рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Вопрос

Производная.

Пусть функция y=f(x) задана на промежутке (а, б), и пусть точка хɞ (а, б), а число ∆ х такое, что х+∆ хɞ (а, б). Число ∆ х называется приращением аргумента в точке х₀.

Приращением ∆ у функции y=f(x) в точке х0, соответствующим приращению аргумента ∆ х, называется разность значений функции в точках х+∆ х и х0, т.е. ∆ у=f(x0+∆ x) – f(x0).

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю, если этот предел существует и конечен.

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к данной кривой y=f(x), проходящей через точку М₀(х0, у0) кривой, имеет вид:

Нормалью М₀N к кривой y=f(x) в данной её точке М₀(х0, у0) называется перпендикуляр к касательной, проведённый через точку касания.

Уравнение нормали М₀N записывается так:

Замечание.

Если f '(x0)=0 то уравнение касательной к кривой имеет вид y=f(x0), а уравнение нормали: х=х0.

Если же f '(x0)→ ∞ (за счёт того, например, что знаменатель производной в точке с абсциссой х0 превращается в ноль), тогда f '(x0)=tg(α )→ ∞ и α → , то х=х0 – это уравнение касательной; у=f(x0) – уравнение нормали.

Вид 1.

или

Пример.

= 3 = 3ln(x+2) + C

Вид 2.

k ≥ 2,

Пример.

= 3 = + C

Вид 3.

корни знаменателя дроби комплексные, D < 0

Примеры в лекции

Вид 4.

; k≥ 2, ;

Пример.

Б) Если n и m только четные – четную степень нужно понизить, используя формулы формулы понижения степени и, по возможности, формулу для синуса двойного угла:

; ; ;

; .

Пример.

Интегралы вида .

Они вычисляются с применением тригонометрических формул, которые преобразовывают произведение в сумму:

;

Пример.

Интегралы вида .

Здесь подынтегральная функция является функцией аргументов sin x, cos x, при этом подынтегральное выражение по форме не подходит под предыдущие правила. Такой интеграл сводится кинтегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки:

, , , .

Пример.

Интегралы вида .

В этом случае подынтегральная функция такова, что .

Интеграл данного видасводится кинтегралу от рациональной дроби при помощи подстановки:

; ; ;

; .

Интегралы вида , , .

К данным интегралам удобно применять следующую замену:

или ;

также для них можно использовать преобразование:

, .

Примеры.

;

Билет

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для любого х, принадлежащего (a, b), выполняется равенство .

Примеры.

Найти первообразную F(x)для функции f(x), указать область действия первообразной.

1) Если , тогда ; ; , где С – произвольная постоянная. Первообразная действует на всей числовой оси.

2) Если , тогда , где С – произвольная постоянная. Первообразная действует на всей числовой оси.

Если в дифференциальном исчислении решается задача нахождения производной данной функции, то в интегральном исчислении решается задача определения первообразной функции.

Теорема 1.1. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), то любая другая первообразная этой функции отличается от F(x) на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде

, где С – произвольная постоянная.

Доказательство.

Пусть F(x) – одна из первообразных для f(x) на (a, b), F₁(x )– её другая первообразная, тогда по определению первообразной и , для любого х из (a, b). Рассмотрим разность , для которой справедливы следующие равенства при любом х из (a, b). Итак, , откуда следует, что . Тогда и .

Множество всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, знак читается «интеграл» и обозначает операцию нахождения множества первообразных для подынтегральной функции.