Геометрический смысл неопределенного интеграла

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Геометрически неопределенный интеграл – это семейство кривых, получающихся друг из друга путем параллельного переноса вдоль оси Оу. График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Пример.

Если f(x)=2x, то неопределённый интеграл геометрически представляет из себя множество парабол (см. рисунок 1).

Рис. 1

Условия существования неопределенного интеграла

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Теорема 1.2.Если f(x) непрерывна на (a, b), то она имеет на этом интервале первообразную, а значит, и неопределенный интеграл.

Только не всегда данный интеграл представим формулой. Интегралы, первообразная от которых не может быть выражена через известные функции, называются «неберущимися».

Свойства неопределенного интеграла

1. или .

Доказательство.

Свойство доказывается исходя из определения интеграла, так как . Вывод для дифференциала аналогичен. Это свойство позволяет проверять результат интегрирования дифференцированием.

Например: , так как при проверке дифференцированием получим: .

2. .

Функция и дифференциал, стоящие рядом, взаимно уничтожаются.

Доказательство.

3. .

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Доказательство.

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из функций.

Доказательство.

Здесь .

5.Инвариантность формулы интегрирования.

Если , то ,

где – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Доказательство.

Пусть х – независимая переменная, f(x) – непрерывная функция, F(x) – её первообразная, тогда .

Пусть u , где – непрерывная, дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию . В силу инвариантности формы первого дифференциала , откуда следует, что

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается верной даже в случае, когда переменная интегрирования является функцией, имеющей непрерывную производную.

Билет

Метод подведения под знак дифференциала

Данный метод используется для сведения исходного интеграла к табличному в том случае, если интеграл имеет вид: .

Выполнив замену и воспользовавшись формулой , мы получим интеграл более простого вида:

, обычно, уже табличный.

Итак, для подведения функции под знак дифференциала будем использовать формулу

которая является следствием формулы дифференциального исчисления .

Примеры. . .

1.8. Методы интегрирования.

Замена переменных в интеграле

Во многих случаях удается введением новой переменной свести исходный интеграл к табличному или более простому, который, в свою очередь, сводится к табличному.

Данный способ называется методом интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Пусть требуется вычислить . Сделаем подстановку , где – функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда, основываясь на формуле для вычисления дифференциала и на свойстве инвариантности формул интегрирования, получим формулу замены переменных в неопределенном интеграле:

.

Примеры.

Методы интегрирования.

Метод интегрирования по частям

Пусть u(x) и v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда или

Получили формулу интегрирования по частям. В результате применения формулы мы переходим к вычислению интеграла вида , который должен оказаться более простым, чем исходный.