Непрерывность функции на промежутке

Функция y=f(x) называется непрерывной на некотором промежутке (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки разрыва функции

Точка х₀, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, т.е. не принадлежащая ей, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции. Поскольку существование предела функции в точке подразумевает существование равных односторонних пределов функции в этой точке, то условие непрерывности можно переписать в виде:

Приведённые равенства подразумевают выполнение трёх условий:

1). функция y=f(x) определена в точке х₀ и в окрестности этой точки;

2). функция y=f(x) имеет конечный предел в точке х₀, т.е. существуют конечные, равные между собой два односторонних предела;

3). предел функции в точке х₀ равен значению функции f(x₀) в этой точке.

В точке разрыва функции может нарушаться одно или два из этих равенств. В зависимости от того, какое равенство нарушено, все точки разрыва функции делятся на точки разрыва I и II рода.

Точка х₀ называется точкой разрыва I рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы функции , но при этом:

1. если А1 = А2 ≠ f(x₀), то точка x₀ называется точкой устранимого разрыва функции;

2. если А1 ≠ А2, то точка х0 называется точкой конечного (неустранимого) разрыва функции. В точке х0 функция может быть как определена, так и не определена.

Величину │ А1 – А2│ называют скачком функции.

Точка х0 называется точкой разрыва II рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 6.17. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема 6.18. Пусть функция g=g(x) непрерывна в точке х₀, а функция y=f(g) непрерывна в точке g₀=g(x₀). Тогда сложная функция y=f(g(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х₀.

Теорема 6.19. Для непрерывной функции символы предела и функции можно менять местами.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 6.20 (Вейерштрасса). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке[a, b], то она ограничена на этом отрезке

Теорема 6.21(Больцано – Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка неравные значения f(а)=А и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.

Следствие. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения равных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует хотя бы одна точка с, в которой значение функции равно нулю.

Геометрически это означает, что если непрерывная функция на заданно отрезке принимает значения равого знака, то её график будет пересекать ось Ох.

Вопрос

Производная.

Пусть функция y=f(x) задана на промежутке (а, б), и пусть точка хɞ (а, б), а число ∆ х такое, что х+∆ хɞ (а, б). Число ∆ х называется приращением аргумента в точке х₀.

Приращением ∆ у функции y=f(x) в точке х0, соответствующим приращению аргумента ∆ х, называется разность значений функции в точках х+∆ х и х0, т.е. ∆ у=f(x0+∆ x) – f(x0).

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю, если этот предел существует и конечен.

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к данной кривой y=f(x), проходящей через точку М₀(х0, у0) кривой, имеет вид:

Нормалью М₀N к кривой y=f(x) в данной её точке М₀(х0, у0) называется перпендикуляр к касательной, проведённый через точку касания.

Уравнение нормали М₀N записывается так:

Замечание.

Если f '(x0)=0 то уравнение касательной к кривой имеет вид y=f(x0), а уравнение нормали: х=х0.

Если же f '(x0)→ ∞ (за счёт того, например, что знаменатель производной в точке с абсциссой х0 превращается в ноль), тогда f '(x0)=tg(α )→ ∞ и α → , то х=х0 – это уравнение касательной; у=f(x0) – уравнение нормали.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: