Механический смысл производной

Значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимой переменной.

Рассмотрим движение точки М по прямой, причём через S будем обозначать расстояние от начала отсчёта О до движущейся точки. Каждому моменту времени t соответствует определённое значение S, так что величина S является функцией времени: S=f(t).

Производная от S по t , т.е.S'=f '(t), есть скорость v движения точки по прямой, v=S'(t).

15 вопрос

16 вопрос

33. Методы интегрирования рациональных дробей. Виды простейших дробей и их интегрирование, метод неопределённых коэффициентов для разбиения дроби на простейшие, примеры.

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) – это функция, равная отношению двух многочленов, т.е. функция вида .

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в её числителе меньше степени многочлена в её знаменателе, т.е. m < n; в противном случае (если m ≥ n) рациональная дробь называется неправильной.

Вид 1.

или

Пример.

= 3 = 3ln(x+2) + C

Вид 2.

k ≥ 2,

Пример.

= 3 = + C

Вид 3.

 

корни знаменателя дроби комплексные, D < 0

Примеры в лекции

Вид 4.

; k≥ 2, ;

Интегрирование рациональной непростейшей дроби.

Если изначально правильная дробь не является простейшей, то её следует методом неопределённых коэффициентов предварительно разложить на простейшие дроби.

Множителю вида в знаменателе правильной дроби соответствует k простейших дробей

вида + ;

Множителю вида или ( ) с отрицательным дискриминантом в знаменателе правильной дроби соответствует простейшая дробь вида или . Коэффициенты в новых составленных простейших дробях можно найти методом неопределенных коэффициентов. При этом новые простейшие дроби снова приводят к общему старому знаменателю и уравнивают новый и старый числители. После разложения правильной дроби на простейшие остается проинтегрировать каждую простейшую дробь по-отдельности.

План интегрирования рациональных дробей

1. Если дробь неправильная, то нужно выделить из неё целую часть, то есть представить дробь в виде многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Знаменатель правильной рациональной дроби разложить на множители.

3. Представить правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей, найти неопределённые коэффициенты в разложении.

4. Проинтегрировать каждую из простейших дробей и многочлен (целую часть).

34.Интегрирование тригонометрических функций, приёмы, примеры.

Некоторые частные случаи.

Интегралы вида.

А) Если хотя бы одна из степеней нечетная, то от нечетной степени отсоединяют функцию в первой степени. Под дифференциал подводим кофункцию. И подынтегральное выражение представляем через кофункцию, используя основное тригонометрическое свойство.

Пример.

Б) Если n и m только четные – четную степень нужно понизить, используя формулы формулы понижения степени и, по возможности, формулу для синуса двойного угла:

 

; ; ;

; .

Пример.

.

Интегралы вида .

Они вычисляются с применением тригонометрических формул, которые преобразовывают произведение в сумму:

;

;

.

Пример.

.

Интегралы вида .

Здесь подынтегральная функция является функцией аргументов sin x, cos x, при этом подынтегральное выражение по форме не подходит под предыдущие правила. Такой интеграл сводится кинтегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки:

, , , .

Пример.

.

Интегралы вида .

В этом случае подынтегральная функция такова, что .

Интеграл данного видасводится кинтегралу от рациональной дроби при помощи подстановки:

; ; ;

; .

Интегралы вида , , .

К данным интегралам удобно применять следующую замену:

или ;

также для них можно использовать преобразование:

, .

Примеры.

;

Интегрирование экспоненциальных и иррациональных зависимостей (иррациональные зависимости в рамках лекции).

Иррациональная функция – это функция, содержащая корни или переменную в дробной степени.

 

Интегралы вида

Такие интегралы решаются заменой , после которой сводятся к интегралам от рациональных дробей.

Билет

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для любого х, принадлежащего (a, b), выполняется равенство .

Примеры.

Найти первообразную F(x)для функции f(x), указать область действия первообразной.

1) Если , тогда ; ; , где С – произвольная постоянная. Первообразная действует на всей числовой оси.

2) Если , тогда , где С – произвольная постоянная. Первообразная действует на всей числовой оси.

 

Если в дифференциальном исчислении решается задача нахождения производной данной функции, то в интегральном исчислении решается задача определения первообразной функции.

Теорема 1.1. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), то любая другая первообразная этой функции отличается от F(x) на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде , где С – произвольная постоянная.

Доказательство.

Пусть F(x) – одна из первообразных для f(x) на (a, b), F₁(x )– её другая первообразная, тогда по определению первообразной и , для любого х из (a, b). Рассмотрим разность , для которой справедливы следующие равенства при любом х из (a, b). Итак, , откуда следует, что . Тогда и .

Множество всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, знак читается «интеграл» и обозначает операцию нахождения множества первообразных для подынтегральной функции.

Отыскание неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: