Графический анализ опытных данных

Сравнение с теорией. Функциональные шкалы

Для проверки теоретической зависимости на график наносят опытные точки (нередко с указанием их погрешности в виде –Δ Y), а теоретическую кривую проводят через точки, рассчитанные по уравнению. Если теория дает лишь вид зависимости, а параметры ее неизвестны и их надлежит определить из опыта, то экспериментальную зависимость стараются привести к линейному виду (так как параметры прямой найти проще). С этой целью при построении графика по осям откладывают не сами измеренные величины, а такие функции этих величин, которые позволяют линеаризовать зависимость. Рассмотрим пример. Опыт показывает, что электрическое сопротивление полупроводника снижается с ростом температуры нелинейно. Чтобы выбрать координаты, в которых зависимость линеаризуется, обратимся к теории. Согласно квантовой теории твердого тела сопротивление истинного полупроводника меняется с температурой по закону . Логарифмируя это уравнение, получаем зависимость , которая представится на графике в виде прямой y = + Kx, если обозначить y = ln R, x = 1/T. Определяя параметры этой прямой b = ln A и K = Δ W/2k, можно найти характеристики полупроводника A и Δ W.

Определение параметров линейной зависимости

Рассмотрим два наиболее распространенных метода:

— приближенный метод определения параметров прямой, когда используют отрезки, отсчитанные по шкале на осях графика;

— метод наименьших квадратов (МНК).

Приближенный метод

Определение параметров K и b

Пусть измеренные величины x и y связаны линейной зависимостью вида y = Kx + b и нужно определить ее параметры K и b. Для этого опытные точки наносят на график и проводят прямую линию, руководствуясь правилами построения графика. На концах линии выбирают две произвольные точки а и б, удобные для расчета. Для снижения погрешности отсчета по графику и упрощения расчета углового коэффициента K удобно точку а взять на одной из осей, а точку б — так, чтобы отрезок
(x_б − x_а) выражался целым числом.

Среднее значение углового коэффициента K вычисляют как отношение, определяющее наклон прямой:

(1)

Параметр b линейной зависимости находят по графику как ординату точки пересечения прямой с осью y. Величину b можно найти и по уравнению прямой, подставляя координаты средней точки графика:

(2)

Случайные погрешности параметров определяются разбросом опытных точек относительно проведенной прямой. Для простейшей оценки этих погрешностей достаточно найти на графике величину Δ y — отклонение от прямой линии наиболее удаленной точки и (y_N − y₁) — интервал, на котором сделаны измерения (длина оси y). Абсолютная случайная погрешность параметра b:

(3)

Для углового коэффициента прямой K сначала вычисляют относительную погрешность:

(4)

Формула (4) привлекает тем, что при расчете отношения величин одного рода можно взять их в любых единицах (удобнее всего — в миллиметрах шкалы по оси y). Напомним, что в величине погрешностей имеет значение, как правило, одна цифра, а потому достаточная точность отсчета отрезка (y_N – y₁) — «круглое число», например, 90, 100 или 120 мм.

Затем находят абсолютную погрешность среднего значения величины K:

(5)

которая позволяет записать доверительный интервал для искомого параметра K:

(6)

Доверительная вероятность P в описанном методе оценки погрешностей (по максимальному отклонению Δ _K ) зависит от числа опытных точек N — чем больше N, тем выше надежность результата:

 

Приложение 2

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

Основные физические постоянные

Скорость света в вакууме	c = 3 · 108 м/с
Число Авогадро	NA =6, 02 · 1023 моль–1
Постоянная Больцмана	k = 1, 38 · 10− 23 Дж/К
Элементарный заряд	e = 1, 60 · 10− 19 Кл
Масса электрона	mе = 0, 911 · 10− 30 кг
Удельный заряд электрона	e/me = 1, 76 · 1011 Кл/кг
Постоянная Планка	h = 6, 63 · 10–34 Дж·с
Магнетон Бора	μ B = 0, 927 · 10 − 23 Дж/Тл
Атомная единица массы	1 а.е.м. = 1, 66 · 10− 27 кг
Электрическая постоянная	ε 0= 0, 885 · 10− 11Ф/м
Магнитная постоянная	μ 0 = 4π · 10–7 = 1, 26 ·10–6 Гн/м
Электронвольт	1 эВ = 1, 6 · 10–19 Дж

Удельные сопротивления и температурные коэффициенты сопротивления

Элемент	Удельное сопротивление ρ , нОм·м (при 20 °С)	Температурный коэффициент α , 10− 3 K− 1
Алюминий	25, 3	4, 5
Вольфрам	55, 0	5, 1
Медь	17, 1	4, 3
Свинец	190, 0	4, 2
Серебро	15, 0	4, 1
Нихром	1100, 0	0, 2

Литература

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1989. — 608 с.

2. Калашников С.Г. Электричество. — М.: Наука, 1977. — 555 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. — М.: Наука, 1983. — 688 с.

4. Трофимова Т.И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1999. — 542 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Правила техники безопасности при выполнении лабораторных работ
по общему курсу физики. 3

Работа № 1. Изучение лабораторного комплекса «Электричество и магнетизм». 5

Работа № 2. Изучение работы осциллографа. 11

Работа № 3. Определение емкости конденсатора. 13

Работа № 4. Определение удельного сопротивления проводника. 18

Работа № 5. Изучение свойств сегнетоэлектрика. 23

Работа № 6. Изучение затухающих электрических колебаний. 31

Работа № 7. Изучение вынужденных электрических колебаний. 33

Работа № 8. Изучение взаимной индукции двух соленоидов. 33

Работа № 9. Измерение разности фаз электрических колебаний. 33

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 33

Приложение 1. Графическое представление и обработка результатов измерений. 33

1.1. Построение графиков. 33

1.2. Графический анализ опытных данных. 33

1.2.1. Сравнение с теорией. Функциональные шкалы. 33

1.2.2. Определение параметров линейной зависимости. 33

Приложение 2. Справочные данные. 33

2.1. Основные физические постоянные. 33

2.2. Удельные сопротивления и температурные коэффициенты сопротивления. 33

ЛИТЕРАТУРА.. 33

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: