Описание выбора на языке бинарных отношений

Второй, более общий язык, на котором описывается выбор, – это язык бинарных отношений. Его большая, нежели у критериального языка, общность основана на учете того факта, что в реальности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно; однако если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то находятся основания сказать, какая из них более предпочтительна.

Таким образом, основные предположения этого языка сводятся к следующему:

1) отдельная альтернатива не оценивается, т.е. критериальная функция не вводится;

2) для каждой пары альтернатив (x, y) некоторым образом можно установить, что одна из них предпочтительнее другой либо они равноценны или несравнимы (чаще всего последние два понятия отождествляются);

3) отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных альтернатив, предъявленных к выбору.

Математически бинарное отношение R на множестве X определяется как определенное подмножество упорядоченных пар (x, y). Удобно использовать обозначение xRу, если x находится в отношении R с y, и x y – в противном случае. Множество всех пар {(x, y), x, y Î X} называется полным (“универсальным”) бинарным отношением. Поскольку в общем случае не все возможные пары (x, y) удовлетворяют условиям, накладываемым отношением R, бинарное отношение является некоторым подмножеством полного бинарного отношения, т.е. R Í X ´ X.

Задать отношение – это значит тем или иным способом указать все пары (x, y), для которых выполнено отношение R.

Способы задания бинарных отношений

Существует четыре разных способа задания отношений (рис. 7.3); преимущества каждого проявляются при разных характеристиках множества X.

Первый, очевидный, способ состоит в непосредственном перечислении таких пар. Ясно, что он приемлем лишь в случае конечного множества X.

Второй удобный способ задания отношения R на конечном множестве – матричный. Все элементы нумеруются, и матрица отношения R определяется своими элементами a_ij(R) = {1: x_iRx_j; 0: x_i x_j} для всех i и j. Известным примером такого задания отношений являются турнирные таблицы (если ничьи обозначить нулями, как и проигрыш, то матрица изобразит отношение “x_i – победитель x_j”).

Третий способ – задание отношения графом. Вершинам графа G(R) ставят в соответствие (пронумерованные) элементы множества X, и если x_iRx_j, то от вершины x_i проводят направленную дугу к вершине x_j; если же x_i x_j, то дуга отсутствует.

Граф предпочтений - это рисунок, который получается следующим образом:

1. Кружками изображаются альтернативы.

2. Они пронумеровываются (это будут вершины графа).

3. Если какие-то две альтернативы сравниваются, между ними проводится линия (называемая ребром или дугой графа). Если в сравнении " победила" одна альтернатива,

это обозначается стрелкой в сторону проигравшего. Если исход ничейный, линия остается ненаправленной.

Располагая таким протоколом наблюдений, можно выделить " самые лучшие" альтернативы. Для этого нужно определить критерий, кого считать " лучшим", и сделать это можно по-разному. Например, считать лучшим того, кто не проиграл ни разу. Тогда выделятся альтернативы 6 и 10.

Правда, и при этом может не оказаться " самого лучшего" по избранному критерию (например, не окажется того, кто не проиграл ни разу). Придется вводить другие критерии. Но главным препятствием для получения полного набора парных сравнений становится их большое количество - N(N-1) - при больших N, поэтому стало бы невозможным определение чемпиона мира ни по одному виду спорта. Правда, спортсмены разработали сокращенные, приближенные способы определения лидера - либо зональные соревнования с последующими сражениями между победителями зон, либо олимпийская система с выбыванием после первого поражения.

Для определения отношений на бесконечных множествах используется четвертый способ – задание отношения R сечениями. Множество

R⁺(x) = {y Î X | (y, x) Î R}

называется верхним сечением отношения R, а множество

R^–(x) = {y Î X | (x, y) Î R}

– нижним сечением. Иначе говоря, верхнее сечение – это множество всех y Î X, которые находятся в отношении yRx с заданным элементом x Î X, а нижнее сечение – множество всех y Î X, с которыми заданный элемент x находится в отношении R. Отношение однозначно определяется одним из своих сечений.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют все четыре способа представления конкретных отношений.

Пример 1. Полное бинарное отношение U:

1) в U входят все пары (x_i, x_j), x_s Î X;

2) a_ij(U) = 1 для всех i и j;

3) граф G(U) такой, что его дуги соединяют любую пару вершин (стрелки направлены в обе стороны, поскольку x_i U x_jи x_jU x_i, а каждая вершина имеет петлю: x_i U x_i);

4) R⁺(x) = R^–(x) = X для любого x Î X.

Пример 2. Диагональное отношение E:

1) в E входят только пары с одинаковыми номерами: x_i E x_jверно только при i = j;

2) a_ij(E) = { 1: i = j; 0: i?? j };

3) граф G(E) такой, что каждая его вершина имеет петлю, а остальные дуги отсутствуют;

4) R⁺(x) = R^–(x) = x для любого x Î X.

Замечание. Обратите внимание на очень важное предположение в языке бинарных отношений – независимость упорядочения двух альтернатив от любой третьей. Это предположение существенно для всей теории. В ее приложениях важно убедиться, что оно выполняется в изучаемом варианте выбора.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: